En mathématiques, le terme «cuboïde» a quelques définitions différentes. En général, le terme fait référence à un solide ayant six faces planes, huit sommets et 12 arêtes. Une pyramide carrée avec son sommet coupé est un exemple. Le terme «cuboïde» se réfère souvent à une classe étroite de solides, cependant, avec toutes les faces opposées parallèles - appelé Si toutes les faces adjacentes se rencontrent à angle droit, la figure est une cause de la "parallélépipède." "Parallélépipède droit." variété de formes, pas de formule unique couvre tous les parallélépipèdes; Cependant, vous pouvez résoudre pour le volume de formes parallélépipédiques spécifiques en utilisant le calcul, vecteur ou arguments trigonométriques.
Instructions
Vecteur Approche: parallélépipède
1 Désignons trois côtés adjacents réunis à l'un des coins du parallélépipède comme les trois vecteurs \ "a \", \ "b \" et \ "c \". Désignons leurs longueurs \ "A \", \ "B \" et \ "C \". Désignons l'angle entre \ "a \" et \ "b \" comme \ "? \" (Alpha), l'angle entre \ "b \" et \ "c \" comme \ "? \" (Beta) et la angle entre \ "c \" et \ "a \" comme \ "? \" (gamma).
2 Orient parallélépipède (si seulement dans votre esprit) de sorte que le visage délimité par \ "a \" et \ "b \" est sur le fond. En utilisant l'arithmétique de vecteur standard, prendre le produit croisé de \ "un \" et \ "b \". Le produit croisé résultant est le vecteur perpendiculaire à la face que vecteurs the \ \ "b \" frontière "a \" et. La longueur du vecteur résultant est égale à la surface de la face inférieure. La raison est que l'ampleur du produit croisé est égal à \ "sin AB? \", Par la définition du produit croix. Comme la forme du parallélépipède est la même chose de la face inférieure tout le chemin jusqu'au sommet, vous avez seulement à gauche pour multiplier la hauteur par la surface de la face inférieure.
3 Déterminer la hauteur du parallélépipède et le multiplier par la surface de la base. Le résultat est le volume du parallélépipède. En d'autres termes, la formule pour le volume d'un parallélépipède est la superficie de base fois la hauteur. Ceci est la même chose que la prise du produit scalaire de \ "c \" et le produit croisé de \ "a \" et \ "b \". Cela est vrai parce que le produit scalaire est, par définition, la longueur de \ times "c \" la longueur du produit croisé de \ "a \" et \ "b \" fois le cosinus de \ "? \". Ici, \ "? \" Est l'angle entre \ "c \" et le vecteur perpendiculaire à la face inférieure. En d'autres termes, \ "c cos? \" Est la hauteur du parallélépipède. De sorte que le volume est \ "c
(axb) \" si \ "\" désigne le produit scalaire. Si vous ne connaissez pas la hauteur, mais ne savez longueurs \ "A \", \ "B \" et \ "C \", et les angles \ "? \", \ "? \" Et \ "? \ », puis passez à la section suivante.
Approche trigonométrique: parallélépipède
4 Résolvez l'angle inconnu \ "? \" Lorsque vous ne disposez pas des côtés de délimitation en forme de vecteur d'abord rappeler la cx identité trigonométrique (axb) = a (c
b) -b (c a).
5 Ecrire l'ampleur de la partie gauche de l'équation (ABsin?) C péché?. Maintenant, d'un côté de l'équation peut être écrite en termes de \ "? \". Ainsi, vous pouvez éventuellement résoudre pour \ "cos? \".
6 Prendre le produit scalaire du vecteur a (c
b) -B (c a) avec lui - même. Ce sort pour être (cos PBR - cos Bca?) (PBR cos - cos Bca?), Ou (ABC) ^ 2 [cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2)?] (Rappel que a = A ^ 2 et a * b = AB cos?.) Ici, cos (2)? des moyens (cos?) ^ 2. Ce résultat est égal au carré de l'amplitude de la partie droite de l'équation à l'étape 1.
7 Le carré du résultat de l'étape 2 à l'assimiler à l'étape 3. Éliminer le (ABC) ^ 2 abord pour plus de commodité. Par conséquent, le péché (2)? sin (2)? = Cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2) ?.
8 Ecrire \ "péché? \" En termes de \ "cos? \", Puisque ABC péché? cos? est le volume que vous voulez résoudre pour. Ainsi, le péché (2)? [1-cos (2)?] = Cos (2)? - 2 cos? cos? cos? + Cos (2) ?.
9 Résoudre pour \ comme suit: "sin cos \?":
sin (2)? cos (2)? = Sin (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos? - Cos (2)? = 1 - cos (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos? - Cos (2) ?.
Par conséquent, la formule finale pour le volume d'un parallélépipède est la suivante:
? ABC [1 - cos (2)? - Cos (2)? - Cos (2)? + 2 cos? cos? cos?].
Calcul Approche: Pyramide tronquée Place
dix Déterminer si le calcul serait une approche utile en décidant si le chiffre peut être découpé en tranches minces, chacun avec la même forme. Par exemple, une pyramide carrée avec le sommet pointu coupé - en laissant une surface parallèle à la face inférieure - est une pile de carrés minces. La forme est constante, bien que la taille varie.
11 Désignons la largeur de base de la pyramide tronquée \ "B \" et top largeur \ "T \". Désignons la hauteur \ "H \". Ensuite, l'intégrale du volume de la figure est? X ^ 2 dy, où \ "x \" est la largeur variable des carrés, \ "dy \" est la hauteur différentielle des carrés et la relation entre les deux variables est y = H - H (xT) / (BT). Vous pouvez voir cela parce que les côtés d'une pyramide sont linéaires, donc une équation linéaire applique. En outre, quand \ "x \" est \ "B \", \ "y \" doit être \ "0 \". Lorsque \ "x \" est \ "T \", \ "y \" doit être \ "H \".
12 Ecrire l'intégrale x ^ 2 dy en termes d'une variable?:
dy est égal à -dx H / (BT).
Le négatif sortira dans le lavage sur l'intégration de x = B x = T, qui est plus petit.
13 Prenez l'intégrale. Rappelons que les intégrales sont des produits de l'époque intégrand la largeur différentielle. Prenant l'intégrale d'un polynôme comme x ^ 2 est une simple question d'ajouter 1 à l'exposant, puis en divisant par le nouveau exposant. Ensuite, brancher les deux extrémités, \ "B \" et \ "T \", et prendre la différence entre les deux d'entre eux. En d'autres termes, le résultat [H / (BT)] [(T) ^ 3/3 - (B) ^ 3/3] ou H / (BT) [(B) ^ 3/3 - (T ) ^ 03/03].
Conseils et avertissements
- Selon le physicien Jagdish Mehra, lauréat du prix Nobel Richard Feynman a compris la formule générale dans la deuxième section ci-dessus à l'aide d'un ami dans trois semaines tout en étudiant la trigonométrie au lycée. Son professeur de trigonométrie offert le problème à la classe comme un défi qu'aucun de ses élèves avant avait résolu.