En mathématiques, l'interpolation est le calcul de la valeur d'une fonction entre les valeurs déjà connues. La fonction f (x), est inconnue, sauf pour certaines valeurs de x. Entre ces valeurs, f (x) ne peut être estimée. Pour ce faire, d'autres fonctions peuvent être adaptés pour correspondre aux valeurs connues de f (x), et de servir de proxy pour estimer f (x) aux points x où sa valeur est inconnue. polynômes de Lagrange sont une telle classe de fonction. L'objectif de la méthode Lagrange est de trouver, pour un point donné où f (x) est connu, un polynôme qui est égale à f (x) à ce moment, mais nulle aux autres points où f (x) est connu. Ajout de tous ces polynômes ensemble produit un polynôme qui prend les valeurs connues de f (x) à chaque point où il est connu, puisque chaque polynôme plus petit est égal à zéro à tous les points de f connu (x) sauf un.
Instructions
Lagrange polynômes
1 Déterminer le nombre de valeurs de la fonction d'inclure dans l'interpolation.
Cela permettra de déterminer l'ordre du polynôme de Lagrange à utiliser. Par exemple, si la valeur de la fonction f (x) est connue au consécutive valeurs x x1, x2, x3, x4 et x5, et l'on veut estimer la valeur de f (x) à un certain x entre x2 et x4, puis en utilisant f (x2), f (x3), et f (x4) pour produire un deuxième ordre Lagrange polynôme serait raisonnable. L'ordre d'un polynôme est à quelle hauteur les exposants de x obtiennent. (Par exemple, x ^ 2 + 2 est un polynôme de second ordre, et 3x ^ 3 + 4x + 1 est troisième ordre.) Bien qu'il soit souhaitable d'inclure plus de données dans le modèle que moins, il est également souhaitable de ne pas avoir un modèle nécessitant tant de calculs (par exemple, d'être d'ordre élevé) qu'il est une grande augmentation du travail que pour un modeste gain possible dans la précision.
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Résoudre pour un polynôme qui est égale à f (x) à l'une des valeurs x sélectionnées à l'étape 1 et zéro aux autres valeurs x sélectionnées.
Trouver un tel polynôme pour chaque valeur de x choisie à l'étape 1. Le polynôme qui fait cela a la forme suivante. En continuant avec l'exemple ci-dessus, P (x) = f (x 3) --- (x-x 2) (x-x 4) / [(x3-x2) (x3-x4)] sera égale à f (x 3), à x3, et zéro lorsque x = x2 ou x4. Vous pouvez démontrer cela à vous-même en branchant simplement le nombre et la réduction.
Notez que l'interpolation en utilisant seulement deux points au lieu de trois produit une équation du premier ordre: une ligne droite. Aucune courbure serait incorporée dans l'interpolation - le point étant que la réduction de l'information entrant dans le modèle se traduit par la simplicité de ses caractéristiques.
Dans le diagramme, la ligne en pointillés est un 2 points (linéaire) fonction d'interpolation. Le point bleu sur la fonction d'estimation surestime le point rouge, la vraie valeur de f (x). L'utilisation d'une troisième valeur de f (x) entre x1 et x2, si elle était disponible, aurait supprimé la contrainte à être droite (linéaire), et réduit la position de point bleu.
3 Ajouter les polynômes calculés à l'étape 2 pour produire un nouveau polynôme.
Ce nouveau polynôme aura la propriété d'égaler f (x) en tout point utilisé. Il aura l'ordre n-1, si n est le nombre de points utilisés. Il sera égal à f (x) en tout point utilisé. Ce nouveau polynôme est appelé un polynôme de Lagrange. L'interpolation peut être effectuée avec elle en branchant les valeurs x entre les valeurs x utilisées dans l'interpolation. La valeur du polynôme sera une estimation par interpolation de la valeur de f (x).
Conseils et avertissements
- Tous les points de données sont incorporés dans le procédé ci-dessus. Plus permutations sont possibles en dehors de la x2, x3, x4 et sélectionné ci-dessus (par exemple X1, X3 et X5, ou chacun d'eux). Le procédé est également difficile à programmer. Pour le lecteur intéressé, un algorithme appelé la méthode de Neville est basé sur les polynômes de Lagrange mais obtient autour de ces problèmes, et fournit en outre une estimation de la précision qui est plus facile à calculer que des polynômes de Lagrange. (Voir les références.)
- En utilisant une formule d'interpolation pour l'extrapolation, c.-à-estimer les valeurs de f (x) en dehors de la plage des points utilisés, ne sont pas ce que ce modèle a été conçu pour, et ne doit généralement pas être fait. Par exemple, si x = 0, 5, 10, et 15 sont les points utilisés pour développer le polynôme d'interpolation, extrapolation serait d'utiliser ce polynôme d'interpolation pour estimer f (x) à x = 20.