Comment déterminer si une matrice est unitaire

December 5

Comment déterminer si une matrice est unitaire


Une matrice unitaire est une matrice qui satisfait à certaines conditions algébriques. Plus précisément, il est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par son hermitienne (transposée conjuguée) matrice, se traduit par la matrice d'identité. Ceci implique aussi que le transposé conjugué d'une matrice unitaire est l'équivalent de l'inverse de la matrice unitaire. matrices unitaires ont de nombreuses applications dans les sciences, y compris l'utilisation de la mécanique quantique. Vous pouvez déterminer si une matrice spécifique est unitaire en utilisant des techniques d'algèbre linéaire.

Instructions

1 Déterminer le conjugué complexe de la matrice (qui est, retournez le signe de la composante complexe du nombre). Par exemple, si la matrice est donnée:

(1/2) | 1 (1 + i) |

| 1 - i) 1 |,

le complexe conjugué est la suivante:

(1/2) | 1 (1 - i) |

| (1 + i) 1 |.

Appelez cette nouvelle matrice "A."

2 Trouver la transposée de la matrice A (c.-à récrire les lignes de A que les colonnes de la matrice nouvelle Ecrire les lignes de la matrice en tant que.:

(1/2) | 1 (1 - i) |

| (1 + i) 1 |,

parce que les colonnes d'une nouvelle matrice, que nous appellerons B, sont les suivants:

(1/2) | (1 + i) 1 |

| 1 (1 - i) |.

3 Multipliez la matrice d'origine par la nouvelle matrice B. Cela vous donne:

(1/2) | 1 (1 + i) | X (1/2) | (1 + i) 1 |

| (1 - i) 1 | | 1 (1 - i) |.

Multipliant chaque composant ensemble, vous donne la nouvelle matrice:

(1/4) | 2 (1 + i) 2 |

| 2 2(1 - i) |.

4 Déterminer si la nouvelle matrice est la matrice d'identité. La matrice d'identité a la forme:

| 1 0 |

| 0 1 |,

et la matrice calculée dans notre exemple est:

| (1/2) (1 + i) 1/2 |

| 1/2 (1/2) (1 - i) |.

Par conséquent, la matrice d'origine est pas une matrice unitaire.

Conseils et avertissements

  • Lors de la multiplication de la matrice d'origine par la nouvelle matrice B, la multiplication ne commutent pas (qui est, de l'ordre de multiplication va changer le résultat). Par conséquent, assurer la matrice d'origine est situé avant la nouvelle matrice.