Problèmes d'affacturage

September 3

En algèbre, l'expression quadratique est de la forme ax ^ 2 + bx + c, où a, b et c sont des constantes, et x est une variable. Le but de l'affacturage une expression quadratique est de le mettre sous la forme (Ax + B) (Cx + D).
Les raisons effectuant une telle tâche sont nombreux. Quand une telle expression est réglée à zéro, factorisation simplifie la tâche de résoudre pour les valeurs de x. En outre, il donne à la pratique des élèves avec la multiplication et la différence entre les variables et constantes.

c = 0

La forme la plus simple de facteur est quand c = 0. Ensuite, la factorisation est simplement une question de l'affacturage sur un x. Par exemple, x ^ 2 + 3x facteurs à x (x + 3).

b = 0

La prochaine expression quadratique simple de facteur est quand b = 0. Le résultat a une symétrie, parce que B et D ne sont que la racine carrée de c.
Par exemple, x ^ 2 - 9 facteurs à (x - 3) (x + 3).
A noter que les termes de multiplication donne cumulateurs: x ^ 2, -3x, 3x et -9.
On notera que -3x 3x et annulent lorsqu'ils sont ajoutés.
Si un est pas égal à 1, soit x ^ 2 a un coefficient non-trivial, alors ce coefficient doit être pris en compte en premier, avant que la racine carrée de la constante est prise:
2x ^ 2-9
se transforme
2 (x ^ 2 - 9/2).
Maintenant utiliser la racine carrée de 9/2 que vous avez utilisé la racine carrée de 9 (ie 3) ci-dessus:
2 (x - 3 / sqrt (2)) (x + 3 / sqrt (2))
où «sqrt» signifie «racine carrée».

Imaginary Numbers

Notez que les deux exemples précédents utilisés c <0. Et si c est positif, par exemple x ^ 2 + 9?
Le problème est qu'il doit y avoir un terme négatif sous la forme pondérée afin que tous les termes du premier ordre (une fois de coefficient x) sont annulées:
(X - B) (x + B)
Mais cette forme multiplie à être x ^ 2 - B ^ 2, dans laquelle x ^ 2 + 9 ne semble pas comparable. Toutefois, la définition du nombre imaginaire i = sqrt (-1) permet une telle réécriture.
Alors x ^ 2 + 9 = x ^ 2 - (3i) ^ 2, parce que je ^ 2 = -1.
Donc, la factorisation de x ^ 2 + 9 est (x - 3i) (x + 3i).

FOIL Méthode de vérification

Problèmes d'affacturage


Une approche méthodique de la vérification d'une factorisation est ce qu'on appelle la méthode de FOIL. FOIL est un acronyme pour la première externe intérieure-dernière. Il est un raccourci pour une approche en quatre étapes pour garder la trace de toutes les quatre multiplications impliqués dans la multiplication des termes d'une factorisation.
Nous utiliserons (3x + 4) (5x - 3) à titre d'exemple.
Par «première» en papillote, on entend multiplier le premier terme du premier facteur par le premier terme du second facteur:
3x 5x = 15 x ^ 2
Par "extérieur" en papillote , on entend multiplier les deux termes extrêmes, 3x et -3:
3x (-3) = -9x
Par «intérieur» en papillote, on entend multiplier les deux terme intérieure, 4 et 5x:
4 5x = 20x
Par «dernier» , on entend multiplier les deux derniers termes dans les deux produits:
4 (-3) = -12
En suivant cette routine, on peut être sûr de donner suite à chacune des quatre multiplications possibles.

L'ajout de ces termes ensemble donne 15x ^ 2 - 9x + 20x - 12 = 15x ^ 2 + 11x - 12

Inverser FOIL Méthode

La méthode de FOIL inverse est une approche d'essais et d'erreurs pour quadratiques affacturage. Elle exige la maîtrise de l'affacturage des coefficients.
La forme (Ax + B) (Cx + D) est comparée à ax ^ 2 + bx + c.
c doit tenir compte dans B D. un doit prendre en compte dans un C.
En jouant avec les possibilités, on peut trouver des décompositions de a et c tel que b = BC + AD, à savoir le coefficient du terme x.
Exemple:
2 x ^ 2 + 7 x 3 +
En comparant cela à la forme (Ax + B) (Cx + D), clairement, B et D sont 1 et 3, mais qui est ce qui est pas tout d'abord clair. En outre, A et C sont clairement 1 et 2, mais encore une fois, ce qui est qui est pas clair.
Les possibilités peuvent être branchés pour voir ce qui se multiplie sur la forme originale. Essayer A = 1 et D = 3 donne:
(X + 1) (2x + 3)
En utilisant la méthode de FOIL pour multiplier tous les termes donne: 2x ^ 2, 3x, 2x, 3. Le 3x et 2x ne sera pas ajouter à 7x, donc un autre procès est nécessaire.
Essayer A = 2 et D = 3:
(2x + 1) (x + 3) donne 2 x ^ 2, 6x, 1x, 3
Et ajouter 6x 1x pour donner le 7x désiré, de sorte que (2x + 1) (x + 3) est la solution.
Y avait-il un moyen plus rapide, en utilisant l'exigence que b = BC + AD? Branchent dans la seconde hypothèse (A = 2 et D = 3) donne 7 = BC + 2 * 3, donnant la solution BC = 1. Donc, B et C égale à 1. Malgré sa brièveté, certains élèves ne peut pas trouver une approche d'équation particulièrement Plus facile.

Formule quadratique

Une autre méthode pour l'affacturage est de prendre en compte le coefficient de x ^ 2, puis utiliser ce qu'on appelle la formule quadratique.
On peut montrer, en utilisant une méthode appelée «complétant le carré", que la solution à ax ^ 2 + bx + c = 0 est x = [-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)] / [2a] où +/- signifie "plus ou moins" et indique que, si b ^ 2 - 4ac est non nul, alors x a plus d'une solution.
Si l'expression quadratique a = 1, x ^ 2 + bx + c peut être factorisée en (x - QF1) (x - QF2), où QF2 et QF1 sont les deux solutions proposées par la formule quadratique.
Pourquoi ça marche? Parce que QF1 et QF2 sont les deux valeurs de x, où l'expression quadratique ont la valeur zéro. Par conséquent, ce sont les valeurs de x pour lesquelles la forme (x + B) (x + D) est égal à zéro. (X + B) doit être égal à zéro à l'un d'entre eux, et (x + D) doit être nul à l'autre.
Si (x + B) = (QF1 + B) = 0, alors B = -QF1. De même, pour D.
Comment obtenir un = 1 pour utiliser cette méthode? Juste factoriser sur le côté droit au début.

Les commandes supérieures

Certains polynômes d'ordre supérieur peuvent être facilement pris en compte en utilisant les méthodes ci-dessus, si elles peuvent être réécrites sous une forme quadratique. Par exemple, x ^ 4-81 peut être factorisé en reconnaissant comme la même forme que le x ^ 2-9 qui a été pris en compte ci-dessus.
Substitution peut rendre la comptabilité plus facile, alors laissez u = x ^ 2.
81 - Ensuite, l'expression u ^ 2 devient.
Factoring donne (u - 9) (u + 9),
ou (x ^ 2 - 9) (x ^ 2 + 9).
Cette expression peut être factorisé en outre, en utilisant les méthodes ci-dessus, pour donner
(X - 3) (x + 3) (x - 3i) (x + 3i)