Les lois d'Isaac Newton sur le mouvement a changé la perception humaine de l'univers, de celui dans lequel une sphère céleste insondable régnait sur le monde terrestre à un lieu régi par les mêmes lois universelles partout. Comme cela est décrit, par exemple, dans l'essai de George Smith "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton," les lois de Newton généralement recueillies et les principes qui étaient déjà connus codifiées - mais ils ont été aperçus basés sur l'observation et de la logique, et ne sont pas «dérivés» dans l'habituel sens du mot. Cependant, suite à des exemples tels que celui donné par Tom Kirchner dans ses notes pour la mécanique classique de classe de l'Université York, il est possible de dériver les équations du mouvement de Newton à partir du principe de Hamilton de moindre action.
Instructions
Établir un cadre pour la Dérivation
1 Construire le lagrangien. L'intégrale du lagrangien au fil du temps est l ' «action», qui doit être réduit au minimum, compatible avec le principe de Hamilton.
Le lagrangien est définie comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle, généralement exprimée en L = T - U.
2 Calculer l'équation qui satisfait à la condition de minimisation.
La dérivation de la condition de minimisation peut être trouvé - parmi beaucoup d'autres endroits - dans les notes du professeur Frank Wolfs pour la classe de la mécanique classique de l'Université de Rochester. La condition de minimisation est d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = 0, où xdot est la dérivée temporelle de la fonction x (t), également appelée vitesse.
3 Construire les équations du mouvement pour les conditions spécifiques.
Equation du mouvement avec force extérieure - la première loi de Newton
4 
Calculez l'énergie cinétique et potentielle pour une masse ponctuelle.
Dans une dimension, l'énergie cinétique est donnée par T = (1/2) m (xdot) ^ 2, et sans forces extérieures, l'énergie potentielle U est égale à zéro.
5 Construire le lagrangien.
Pour cette situation, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - 0 = (1/2) m (xdot) ^ 2
6 Calculer les termes dans la condition de minimisation.
d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot où xdoubledot est la dérivée seconde de x (t) par rapport au temps, plus communément appelé l'accélération, et ∂L / ∂x = 0, car il n'y a pas de termes dépendant de x.
7 Construire la condition de minimisation.
d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * xdoubledot = 0
8 Intégrer l'équation par rapport au temps.
Nous nous retrouvons avec l'équation x (t) = v0 * t + x0, qui dit la position de la masse du point est la position où il a commencé, plus la vitesse à laquelle il est temps combien de temps il a été en mouvement en mouvement. Ceci est la même que la première loi de Newton, indiquant que s'il n'y a pas de forces, un corps au repos reste au repos et un corps en mouvement conserve la même motion.
L'équation de mouvement avec une force conservatrice externe - la deuxième loi de Newton
9 Calculez l'énergie cinétique et potentielle pour une masse ponctuelle.
Dans une dimension, l'énergie cinétique est donnée par T = (1/2) m (xdot) ^ 2, tandis que l'énergie potentielle U (x), ce qui représente une force qui permet de transférer l'énergie à la masse ponctuelle.
dix Construire le lagrangien.
Pour cette situation, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - U (x).
11 Calculer les termes dans la condition de minimisation.
d / dt (∂L / ∂xdot) = d / dt (∂ ((1/2) m (xdot) ^ 2) / ∂xdot)) = m * xdoubledot et ∂L / ∂x = -∂U / ∂x. Une force conservatrice, une force qui est pas friction, est donnée par l'expression F = -∂U / ∂x, donc ∂L / ∂x = F.
12 Construire la condition de minimisation.
d / dt (∂L / ∂xdot) - ∂L / ∂x = m * xdoubledot -F = 0.
13 Réorganiser l'équation.
F = m * xdoubledot, ou, en remplaçant la lettre a, pour l'accélération, pour xdoubledot, F = ma, qui est la formulation habituelle pour la deuxième loi de Newton.
Conseils et avertissements
- La troisième loi de Newton, indiquant que pour chaque action il y a une réaction égale et opposée, a une représentation mathématique, mais ne se traduit pas directement à une équation de mouvement qui peut être dérivé.