Comment faire pour trouver des points critiques d'une fonction

April 24

Mathématiques définissent les points critiques d'une fonction comme les points où la dérivée première de la fonction est soit zéro, soit défini. Sur un graphique de la fonction, ces points critiques correspondent souvent à des endroits où il y a un maximum local ou de la valeur minimale du graphe, ou un point d'inflexion. Vous pouvez trouver la dérivée première en utilisant une procédure prise à partir des mathématiques de calcul. Une fois que vous savez la dérivée première, il est juste une affaire de trouver les valeurs "x" qui aboutissent à ce dérivé ayant une valeur de zéro ou une valeur indéfinie.

Instructions

1 Écrivez la fonction pour laquelle vous voulez trouver des points critiques. Pour une simple fonction de deux variables, x et y, vous écrivez dans la forme où y est seul sur un côté du signe égal. A titre d'exemple, considérons la fonction y = 3x ^ 2 + 2x + 2/3. Ceci est parfois également écrit en utilisant le terme f (x) au lieu de y.

2 Prenez la première dérivée de cette fonction. Pour trouver la dérivée d'une fonction simple à deux variables, prendre chaque terme de la fonction, qui est sous la forme (a) x ^ b, et réécrire comme (a) (b) x ^ (b-1). Si vous avez un terme qui est uniquement numérique et n'a pas de x en elle, il suffit de déposer ce terme. Dans le cas de la fonction d'exemple, vous réécrire sous la forme f '(x) = (3) (2) x ^ (2-1) + (2) (1) x ^ (1-1) ou f' (x) = 6x + 2 (puisque x ^ 0 est juste 1). Lapostrophe après "f" indique que ceci est la première dérivée.

3 Examiner la dérivée première pour déterminer s'il y a des valeurs de x à laquelle il est indéfini. Ce sera normalement due à la division par zéro. Dans l'exemple de f '(x) = 6x + 2, il n'y a pas de points où il est défini. Cependant, si la première dérivée d'une fonction est f (x) = 3 / x, puis la dérivée serait pas définie pour x = 0, ce qui serait la valeur x d'un point critique pour cette fonction.

4 Réglez le même dérivé à zéro et à résoudre pour les valeurs de x qui font de cette nouvelle équation vrai. Pour l'exemple, vous pouvez écrire 6x + 2 = 0 et trouver les valeurs de x qui rendent ce vrai. La résolution de x donne x = -2/6 = -1/3, donc ceci est la valeur de x d'un point critique pour la fonction d'origine.

5 Remplacez les valeurs de x que vous avez trouvé dans l'équation originale et trouver les valeurs y correspondantes. Dans le cas de l'exemple, le seul point critique se produit à x = -1/3. Mettre cette valeur dans l'équation donne y = 3 (-1/3) ^ 2 + 2 (-1/3) + 2/3. Résoudre l'équation conduit à y = 1/3 - 2/3 +2/3 ou y = 1/3. Ainsi, les points critiques pour cette fonction sont situés à x = -1/3 et y = 1/3 ou (-1/3, 1/3).

Conseils et avertissements

  • Cette technique est souvent utilisée pour trouver les valeurs maximum ou minimum d'une fonction, ce qui peut être utile pour optimiser un processus ou système.