Infini Solution d'élimination Méthode

March 11

Infini Solution d'élimination Méthode


Lorsque vous commencez avec trois équations à trois inconnues (variables), vous pouvez penser que vous avez suffisamment d'information pour résoudre pour toutes les variables. Toutefois, lorsque la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'élimination, vous pouvez constater que le système ne soit pas suffisamment déterminé à trouver une réponse unique, et au lieu d'un nombre infini de solutions est possible. Cela se produit lorsque l'information contenue dans l'une des équations du système redondant à des informations contenues dans les autres équations.

Un exemple 2x2

3x + 2y = 5
6x + 4y = 10
Ce système d'équations est clairement redondant. Vous pouvez créer une équation de l'autre simplement en multipliant par par une constante. En d'autres termes, ils véhiculent la même information. Malgré qu'il y ait deux équations pour les deux inconnues, x et y, la solution de ce système ne peut pas être réduit à une valeur pour x et une valeur pour y. (X, y) = (1,1) et (5 / 3,0) à la fois résoudre, comme beaucoup d'autres solutions. Ceci est le genre de «problème», cette insuffisance de l'information, qui conduit à un nombre infini de solutions dans les grands systèmes d'équations ainsi.

Un exemple de 3x3

x + y + z = 10
x-y + z = 0
x _ + _ z = 5
[Soulignement sont utilisés simplement pour maintenir un espacement.] Par la méthode d'élimination, éliminer x de la deuxième rangée en soustrayant la deuxième ligne de la première, donnant
x + y + z = 10
_2y = 10
x _ __ + z = 5
Éliminer x de la troisième rangée en soustrayant la troisième ligne de la première.
x + y + z = 10
_2y = 10
y = 5
Il est clair que les deux dernières équations sont équivalentes. y est égal à 5, et la première équation peut être simplifiée en éliminant y.
x + 5 + z = 10
y = 5
ou
x + z = 5
y = 5
Notez que la méthode d'élimination ne produira pas une forme triangulaire agréable ici, comme il le fait quand il y a une solution unique. Au lieu de cela, la dernière équation (sinon plus) sera lui-même absorbé dans les autres équations. Le système est maintenant de trois inconnues et seulement deux équations. Le système est appelé «sous-déterminé," parce qu'il n'y a pas assez d'équations pour déterminer la valeur de toutes les variables. Un nombre infini de solutions sont possibles.

Comment écrire la solution Infini

La solution infinie pour le système ci-dessus peut être écrit en termes d'une variable. Un moyen d'écriture est (x, y, z) = (x, 5,5-x). Puisque x peut prendre un nombre infini de valeurs, la solution peut prendre un nombre infini de valeurs.