Méthodes simultanées Equations

August 15

Méthodes simultanées Equations


équations simultanées sont vraies pour les mêmes variables dans le même temps. Vous devez résoudre les équations ensemble pour obtenir la bonne réponse. Les deux méthodes de base pour la résolution d'équations simultanées sont le procédé d'addition et de la méthode de substitution. La règle de Cramer est une méthode spéciale utilisée uniquement pour deux équations à deux inconnues. Vous pouvez combiner les méthodes d'addition et de substitution et répéter pour résoudre des équations simultanées avec plus de deux variables.

Addition Méthode de deux équations à deux inconnues

La méthode d'addition générale est la suivante: ". Quand une paire de coefficients sont négatifs les uns des autres, ajouter les équations verticalement, et cet inconnu annulera vous aurez alors une équation à une inconnue, que vous pouvez résoudre."

Résolvez simultanément pour x et y:

2x + y = 4

x - y = -1

Ajouter les équations verticalement: 2x + x = 3x; y + -y = 0; 4 + 1 = 3

Nouvelle équation: 3x = 3

Maintenant résoudre cette équation pour x pour obtenir x = 1

Puis remplacer de nouveau dans les meilleurs équation 2x + y = 4 pour obtenir 2 + y = 4

Maintenant résoudre cette équation pour y arriver y = 2

Vérifier: 2 (1) 2 = 4 et 1 - 2 = -1

La solution est donc x = 1 et y = 2

Méthode de substitution pour les deux équations à deux inconnues

La méthode de substitution générale est la suivante: ". Résoudre des équations pour une inconnue en termes de l'autre ensuite, substitut que, dans l'autre équation qui donnera une équation à une inconnue, que vous pouvez résoudre.".

Résolvez simultanément pour x et y:

2x + y = 4

x - y = -1

Résolvez 2x + y = 4 pour y à y obtenir = 4 - 2x.

Remplacez cette équation en x - y = -1

Nouvelle équation: x - (4 - 2x) = -1.

Simplifier cette équation pour obtenir 3x - 4 = -1. Maintenant résoudre pour x pour obtenir x = 1

Puis substituer ce retour en y = 4 - 2x pour obtenir y = 4 - 2 (1)

Résoudre pour y arriver y = 2

Depuis cela correspond le résultat de la méthode d'addition, il n'y a pas besoin de vérifier.

La solution est donc x = 1 et y = 2

Règle de Cramer: La méthode des déterminants

Cette méthode nécessite l'utilisation de déterminants qui sont couverts dans l'algèbre linéaire. Tout système de deux équations à deux inconnues peut être écrit sous la forme Ax + By = C et ax + by = c, où A et sont les coefficients des x et B et b sont les coefficients de les y.

On obtient ainsi la matrice:

| AB |

| Ab |

Le nombre D = Ab - Ba est le déterminant de cette matrice.

Considérons maintenant la matrice où C remplace A et c remplace:

| CB |

| Cb |

Le nombre Dx = Cb - Bc est le déterminant de cette matrice.

Considérons maintenant la matrice où C remplace B et c remplace b:

| AC |

| AC |

Le nombre Dy = Ac - Ca est le facteur déterminant de cette matrice.

La règle de Cramer affirme: «Dans chaque système de deux équations à deux inconnues dans laquelle le déterminant D est 0, x = Dx / D et y = Dy / D."

Utilisez la règle de Cramer pour résoudre ce système d'équations:

5x + 3y = -11

2x + 4y = -10

D = 5 4 + 3 2 = 14

Dx = -11 4 - 3 = -10 -14

Dy = 5 -10 - (-11) 2 = -28

De la règle de Cramer, nous avons x = Dx / D = -14/14, donc x = -1.

De la règle de Cramer, nous avons y = Dy / D = -28/14, donc y = -2.

Vérifier: 5 (-1) + 3 (-2) = -11 et 2 (-1) + 4 (-2) = -10

La solution est donc x = -1 et y = -2

Méthode générale pour n équations à n inconnues

La stratégie pour résoudre un problème n équation est de le réduire à (n-1) équations à (n-1) inconnues en utilisant les méthodes d'addition et de substitution. A titre d'exemple, envisager un système de trois équations à trois inconnues. La stratégie sera de réduire à un système de deux équations à deux inconnues. Vous faites ceci en éliminant l'une des inconnues de deux paires d'équations.

Résoudre les équations simultanément pour x, y et z:

x + y - z = 4

x - 2y + 3z = -6

2x + 3y + z = 7

Éliminer z. Considérons d'abord les équations 1 et 3:

x + y - z = 4

2x + 3y + z = 7

Ajouter à la verticale pour obtenir la nouvelle équation 4: 3x + 4y = 11.

Considérons maintenant les équations 1 et 2:

x + y + - z = 4

x - 2y + 3z = -6

Résolvez l'équation 1 pour z pour obtenir: z = x + y -4

Substitut dans l'équation 2 pour obtenir: x - 2y + 3 (x + y - 4) = -6.

Simplifier pour obtenir la nouvelle équation 5: 4x + y = 6

Or, la résolution d'équations 4 et 5 pour x et y en utilisant la substitution (ou de tout procédé ci-dessus):

3x + 4y = 11

4x + y = 6

Résolvez l'équation 5 pour y obtenir y = 6 - 4x et remplacer de nouveau dans l'équation 4 pour obtenir: 3x + 4 (6 - 4x) = 11.

Simplifier et résoudre pour x: -13x = -13 donc x = 1

Maintenant substituer de nouveau dans l'équation 5 et à résoudre pour y: 4 (1) + y = 6, donc y = 2

Maintenant, substituer x et y dans l'équation 1 (ou l'une des équations initiales): 1 + 2 - z = 4

Résolvez pour z pour obtenir z = -1

La solution est donc x = 1, y = 2, z = -1