Un oscillateur harmonique subit un mouvement répétitif autour d'une position d'équilibre en raison d'une force qui restaure l'oscillateur à cette position d'équilibre. Alors que l'oscillateur harmonique est un système couramment étudié en mécanique classique, il y a aussi un système analogue en mécanique quantique appelé l'oscillateur harmonique quantique. Ce système nécessite différentes méthodes mathématiques pour étudier, y compris l'utilisation de deux concepts d'algèbre appelé fonctions propres et valeurs propres linéaires.
Quantum Oscillateur harmonique
L'oscillateur harmonique quantique est décrit par l'équation de Schrödinger avec le potentiel de l'équation prend la forme du potentiel de ressort classique. Résoudre l'équation de Schrödinger de cette forme donne un certain nombre de solutions qui correspondent à différents niveaux d'énergie quantifiées, ou des valeurs propres. Ceci diffère de la solution classique d'un oscillateur harmonique, comme l'énergie d'un oscillateur classique existe sur un spectre continu, tandis que l'énergie de l'oscillateur quantique est discret.
Solutions de Quantum Oscillateur harmonique
L'équation de Schrödinger décrit le mouvement des particules quantiques par une fonction appelée la fonction d'onde. Solutions de l'équation de Schrödinger décrivent le mouvement pour un cas particulier, comme l'oscillateur harmonique. Ces solutions de l'équation de Schrodinger sont appelées fonctions propres et les fonctions propres sont la façon dont les niveaux de l'oscillateur harmonique d'énergie sont extraits.
Harmoniques Oscillateur fonctions propres
Fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique ont la forme générale d'une fonction gaussienne, qui a y = C exp forme (ax ^ 2), où «exp» fait référence à la fonction exponentielle, "a" est une constante connue, "C "est une constante inconnue et" y "est la fonction d'onde. La constante "C" peut être normalisée pour trouver une solution générale. Cette constante normalisée varie en fonction du niveau d'énergie, et est donné par ce qu'on appelle des polynômes d'Hermite.
Hermite polynômes
Pour chaque niveau de l'oscillateur harmonique d'énergie, la constante de normalisation de la fonction propre a une valeur différente. Ces valeurs sont décrites par ce qu'on appelle les polynômes d'Hermite, qui est une séquence commune de polynômes qui se pose fréquemment dans les sciences et les mathématiques. polynômes Hermite sont généralement connus, mais peuvent être déterminées en utilisant des relations de récurrence (qui est, en utilisant des solutions connues de polynômes de Hermite précédentes pour trouver les valeurs suivantes).
Applications
Alors que l'oscillateur harmonique quantique et les solutions ne sont que des approximations fonctions propres, elles peuvent être appliquées à un certain nombre de systèmes physiques pour donner un aperçu du comportement de ces phénomènes. Par exemple, des solutions des fonctions propres peuvent donner un aperçu des spectres de vibration des molécules diatomiques (à savoir, des molécules ayant deux atomes de carbone), ainsi que de fournir une première approximation à une meilleure compréhension des niveaux de systèmes à plusieurs atomes plus complexes énergie.