Qu'est-ce que l'optimisation en calcul?

March 14

Imaginez que vous exécutez une entreprise, et vous devez décider combien dépenser sur la publicité. Un budget publicitaire plus important pourrait augmenter votre profit, mais si votre budget publicitaire est trop grande, il va diminuer vos profits en prenant l'argent loin des autres dépenses. Une façon de résoudre ce genre de problème est une technique de calcul appelée optimisation.

Notions de base

L'optimisation est un moyen de trouver les maxima ou les minima d'une fonction - les points sur un intervalle où la fonction est à son plus grand ou plus petit. L'optimisation peut être contrainte, dans ce cas, il n'y a pas de contraintes sur la fonction que vous étudiez, ou il peut être contraint, dans ce cas, votre fonction est soumise à une contrainte. Cette contrainte est généralement une condition que vous pouvez décrire avec une autre fonction mathématique.

Calcul

Si vous voulez trouver un maximum ou un minimum, vous pourriez trouver la valeur de sortie pour la fonction à chaque point le long de l'axe des x. Cette approche, cependant, serait extrêmement fastidieux. Calcul rend plus simple avec un outil mathématique appelé le dérivé. Quand une fonction est à un maximum ou un minimum, il aura pas de pente - en d'autres mots, son graphe sera plat à ce point. Dans le calcul, la dérivée d'une fonction vous donnera la pente de la fonction à un moment donné.

Dérivés

Vous pouvez trouver où les maxima et minima devraient être en prenant la dérivée d'une fonction et le mettre égal à zéro. Mais comment voulez-vous savoir quels points sont maxima et dont les points sont minima? Vous pouvez résoudre cette énigme en prenant la dérivée de la dérivée, ce qui vous donne la dérivée seconde de la fonction. Au maximum, la dérivée seconde est négative, tandis que, au minimum, il sera positif.

Exemple

La meilleure façon de comprendre l'optimisation est en regardant un exemple. Disons que vous voulez joindre une zone rectangulaire de terrain avec une clôture grillagée, et que vous voulez joindre autant de terres que possible. La seule limitation est que vous avez seulement 1.000 pieds de matériel de clôture. Vous pouvez transformer ce problème en une paire d'équations mathématiques. La première serait la zone délimitée par la clôture: A = xy. La seconde serait le montant maximum de matériel de clôture: 1000 = 2x + 2y. Vous pouvez commencer par résoudre la seconde équation pour y, ce qui vous donne: 500 - x = y. Ensuite, vous substituez cette solution pour y dans l'équation de la zone, et vous obtenez: A = (500 - x) x. Multipliez par les valeurs et vous obtenez: A = 500x - x ^ 2. La dérivée première sera A '= 500 - 2x, où le «symbole indique« dérivé de A », et la dérivée seconde sera A" = -2 Si vous réglez A' = 0 = 500 -. 2x, vous aurez constater que a '= 0 lorsque x est 250. la dérivée seconde est négative à ce point (comme partout ailleurs), il est donc un maximum. Si vous branchez x = 250 dans l'équation pour le montant maximum de matériel de clôture, vous obtenez 500-250 = y, alors y = 250. Cela signifie que vous encercler le montant maximal possible de la terre quand vous construisez une enceinte carrée.