Quelle est la factorisation Méthode Matrix?

October 14

En mathématiques, la factorisation est un procédé de réduction d'un objet pour devenir un produit d'autres objets (également connus comme des facteurs), qui à son tour, lorsqu'il est multiplié ensemble, produirait l'objet original. La méthode de factorisation matricielle est un procédé d'extraction de deux ou plusieurs matrices de facteurs à partir d'une matrice donnée, les deux matrices de facteur fournissant une définition plus précise de la matrice d'origine.

Objectifs

L'objectif principal de la matrice factorisation est de réduire les systèmes de matrice en blocs ou des facteurs de construction de base, de telle sorte qu'ils peuvent être mieux comprises et utilisées pour d'autres applications. Parmi les principaux exemples sur lesquels les méthodes matrice de factorisation sont utilisées sont matrice orthogonale ou unitaire et une matrice triangulaire.

Importance

Matrice factorisation est important pour diverses questions mathématiques pures et appliquées. Il est utilisé dans l'algèbre, la géométrie, la physique et l'astronomie. En physique théorique, les particules dans l'univers sont considérés comme faisant partie d'un monde-volume de branes, et l'interaction entre les différents types de branes sont mesurées au moyen de la matrice factorisation.

Exemples

Des exemples de factorisation de la matrice peuvent être trouvés dans les équations linéaires, qui peuvent encore être définis au moyen d'une décomposition LU. Un système d'équations linéaires Ax l'= b, A est une matrice qui peut être décomposé par factorisation, à leur tour venir avec une triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure. Ainsi, les systèmes Ux = L = 1b et L (Ux) = b deviennent des matrices de facteurs A et nécessitent des opérations d'addition et de multiplication moins à résoudre. De même, la factorisation QR exprime A comme un produit de QR avec Q exprimé sous la forme d'une matrice unitaire et R une matrice triangulaire supérieure. L'application du système précédent, Ax = b peut être exprimée par Q (Rx) = b et est résolu par Rx = QTB = e, tandis que Rx = e peut être résolu grâce à la substitution de retour.

Variations

Factorisation de la matrice est exprimée sous des formes diverses, en fonction de l'application et l'objectif de l'étude. Ceux-ci comprennent la réduction de LU, qui est utilisé pour super-ordinateurs et l'informatique parallèle, alors que la décomposition de Cholesky est utilisé pour factoriser la racine carrée d'une matrice donnée. Bloquer décomposition LU est appliquée en mathématiques de bloc, tandis que la décomposition à valeur unique est appliquée lorsqu'on tient compte des matrices réelles ou complexes pour déterminer les valeurs comme le rang, la portée et l'espace nul.

Applications

En dehors de la physique théorique, la méthode matricielle de factorisation est également important à des fins plus pratiques, telles que les statistiques et le traitement du signal. Définition de la symétrie entre les matrices est également nécessaire dans la théorie quantique, la reconnaissance des formes et de l'analyse modale.