L'étude des espaces vectoriels et sous-espaces constitue l'un des domaines les plus importants des mathématiques; ces idées vont au-delà des mathématiques dans de nombreuses autres disciplines. Vecteurs apparaissent dans une variété d'applications à partir d'équations de physique complexes décrivant l'élan et la force à la rotation d'une boule de billard sur une table de billard.
Sets
Mathématiciens collecter des objets en ensembles. L'ensemble le plus commun inclut tous les numéros, mais un ensemble d'objets peut constituer un ensemble. Les opérations qu'ils effectuent sur ces ensembles définissent eux. Les opérations mathématiques primaires comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Si un ensemble d'objets contient certaines propriétés en vertu de ces opérations, l'ensemble peut changer d'une classe à une autre. Par exemple, si vous ajoutez deux objets dans un ensemble et la solution est également dans l'ensemble, alors ce jeu est "fermé sous addition."
Vecteurs
Les physiciens utilisent des vecteurs pour manipuler les forces et les quantités qui ont à la fois une direction et l'ampleur - telles que la vitesse ou de l'accélération - et comme tous les autres objets, vous pouvez collecter des vecteurs dans un ensemble. Ces ensembles de vecteurs sont importants pour les mathématiciens et les scientifiques parce qu'ils peuvent les utiliser pour définir des concepts abstraits comme l'idée des dimensions et de l'espace.
Espaces vectoriels
Mathématiciens définissent un espace vectoriel comme un ensemble de vecteurs qui suit huit règles mathématiques. Le plus important de ces règles comprennent la fermeture, par addition et multiplication par un scalaire; cela signifie que l'addition des deux vecteurs dans l'ensemble produit un troisième vecteur qui est aussi dans l'ensemble, et, en outre, que la multiplication d'un vecteur par un nombre quelconque produit un autre vecteur dans l'ensemble. Espaces vectoriels constituent une partie importante des mathématiques et sont étudiés en détail dans les cours d'algèbre linéaire.
Les sous-espaces
Lorsque les mathématiciens définissent un espace vectoriel, ils définissent en termes de sa dimension. Par exemple, l'algèbre utilise l'idée d'un point avec deux composants "x" et "y"; "les deux éléments indiquent que le point est dans la deuxième dimension, tandis que les points avec trois composantes représentent la troisième dimension et ainsi de suite. L'ensemble des vecteurs dans une dimension est infinie; ce qui rend l'idée difficile à saisir, afin de le rendre plus facile, les mathématiciens considèrent seulement un petit ensemble de vecteurs dans l'espace tridimensionnel. Si ce petit jeu a également la fermeture, par addition et multiplication par un scalaire, alors il est un sous-espace.
Différences
L'ensemble de tous les vecteurs qui suivent les règles a un nombre infini de vecteurs, mais un ensemble de seulement quatre ou cinq de ces vecteurs peuvent constituer un sous-espace. Cela constitue la principale différence entre un espace vectoriel et un sous-espace; espaces vectoriels sont beaucoup plus grandes. Une autre différence provient des contraintes de la définition. Alors qu'un espace vectoriel doit suivre une liste de huit règles différentes pour être un espace vectoriel un sous-espace a seulement besoin de suivre deux.