Pour trouver et prouver une discontinuité, il est utile de commencer par la définition de la continuité. La continuité de f (x) en x0 signifie que, comme x converge vers x0, tout f (x) convergent sur f (x0). Par conséquent, pour une discontinuité, peu importe comment x fermer arrive à x0, il y a quelques x entre où f (x) est au moins constante c loin de f (x0). La stratégie générale est de deviner et tester un x0 où f (x) peut être discontinue. Ensuite, trouver f voisin (x) qui ne sera pas se rapprocher de c.
Instructions
Trouver et Proving et discontinuités dans une fonction
1 Devinez où une discontinuité existe.
Par exemple, si f (x) = 0 pour x <0 et 1 pour x non-négatifs, une supposition évidente à l'endroit où il y a une discontinuité est à 0.
Comme un exemple moins trivial, supposons que f (x) = 0 pour les nombres rationnels et x pour des nombres irrationnels. On pourrait deviner que tout x autre que zéro a une discontinuité, depuis un intervalle continu, peu importe leur taille, a des nombres rationnels et irrationnels.
2 Trouver une séquence de x qui converge vers x0 sans f (x) converge vers f (x0).
Par exemple, dans le premier exemple, une séquence quelconque de x convergeant depuis le côté gauche de x = 0 donnera une valeur de fonction f (x) = 0, alors f (0) = 1.
Un exemple d'une telle séquence est x = -1 / 10, -1/100, -1/1000, ....
Comme pour l'exemple trivial, choisir un x0 autre que 0. Gardons simplement en l'appelant x0, afin de ne pas perdre de généralité. Si x0 est irrationnel, alors f (x0) est x0. Ensuite, une séquence de x peut être créé qui convergent sur X0, mais pour laquelle f (x) ne converge pas sur x0. Cela se fait facilement en faisant les x toutes les approximations rationnelles de x0. Par exemple, si x est le nombre irrationnel pi, la séquence de x convergeant x0 est 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, .... La valeur de f (x) pour tous ces x de 0. Peu importe comment fermer ces x de se rendre à x0 = pi, f (x) ne converge vers f (x0) = f (pi) = pi.
3 C déterminer la distance minimale à partir de f (x0) que une certaine valeur de la fonction dans l'intervalle entre x et x0 aura lorsque x tend vers x0.
Dans le premier exemple c = 1 étant donné que le f (x) sont toujours à une distance de 1 f (0) = 0. Dans le deuxième exemple, la séquence produit des valeurs de fonction de 0 alors f (x0) = f (pi) = pi. Donc, c = pi.