Une technique couramment utilisée pour résoudre un système d'équations différentielles linéaires couplées consiste à découpler les équations grâce à des méthodes de la matrice et l'intégration de chacun d'eux séparément. La clé du succès de cette méthode est la possibilité de découpler les équations par diagonalisation la matrice carrée qui résulte lorsque ces équations sont réécrites sous forme de matrice. Cette technique nécessite l'algèbre matricielle, y compris valeurs propres, et le calcul intégral, et il y a beaucoup de ressources disponibles sur ces sujets tels que Math World Wolfram.
Instructions
1 Exprimer le système d'équations différentielles linéaires sous forme matricielle. Par exemple, considérons les deux équations différentielles suivantes
dx / dt = ax + by (1)
dy / dt = cx + dy (2)
Cela peut être réécrite sous forme matricielle dX / dt = Xdot = AX, où Xdot est une matrice colonne des dérivés, A est de 2 x 2 matrice carrée des coefficients a, b, c et d, où a et b sont en la première ligne et et c et d de la deuxième, et X est une matrice colonne des variables x et y. Pour plus d'informations sur la façon d'écrire des équations sous forme matricielle voir "Outline Schaum de la théorie et des problèmes d'exploitation Matrix": Richard Bronson: 1989.
2 Calculer les valeurs propres en trouvant la solution à l'équation caractéristique de la matrice A. Les valeurs propres caractéristiques sont les racines de l'équation caractéristique, et les vecteurs propres sont les vecteurs associés. L'équation caractéristique est de la forme det | A-LI | = 0, où det est le déterminant, L représente une matrice de valeurs propres et I est la matrice d'identité ne comportant que des éléments ayant une valeur de l'un sur sa diagonale et zéro ailleurs.
3 Résolvez les vecteurs propres. Les vecteurs propres sont liées aux valeurs propres comme suit:
AS = LS
où S est une matrice colonne de vecteurs propres.
4 Diagonaliser la matrice A en effectuant l'opération matricielle suivante:
D = SA (inverse de S)
où D est une matrice qui a seulement des valeurs sur sa diagonale.
5 Réécrivez l'équation de la matrice d'origine dX / dt = Xdot = AX en termes de la matrice diagonlized de A en remplaçant X = SY et D = SA (inverse de S) pour obtenir
dY / dt = ydot = DY
Cela représente un système d'équations différentielles découplées.
6 Intégrer chaque ligne de l'équation matricielle dY / dt = ydot = DY pour trouver des solutions pour Y.
7 Substituer la solution pour Y dans l'équation X = SY pour obtenir les solutions pour l'équation originale.