Etudiants du haut calcul de l'école connaissent la Riemann intégrale pour une fonction de la zone à laquelle de plus en plus minces rectangles sous la fonction convergent. Bien sûr, il y a des fonctions qui ne sont pas Riemann intégrable car ils divergent, tels que 1 / x de 0 à tout autre nombre. Mais il existe d'autres types de fonctions qui ne sont pas Riemann intégrable car ils sont discontinus ou ne se prêtent pas à une analyse avec des rectangles verticaux. Théorie de la mesure répond à ces situations.
Lacunes de l'intégration Riemann
L'intégrale de Riemann ne peut pas intégrer tout. Par exemple, pour le domaine [0,1], supposons que f (x) est 1 si x est irrationnel, et 0 si x est rationnel. Intuitivement, la zone sous f (x) est de 1, mais l'intégrale de Riemann, avec son besoin de continuité, ne peut pas gérer une telle fonction. De même, alors que l'intégrale de Riemann peut intégrer un seul rectangle d'augmenter la hauteur et largeur décroissante avec une surface constante de 1, il ne peut pas gérer la fonction delta de Dirac, à laquelle un tel rectangle converge.
New Kind of Integral
Une nouvelle sorte d'intégrale est donc souhaitable. La motivation est d'avoir un plus grand nombre de fonctions qui sont intégrables que ce que l'intégrale de Riemann peut gérer. Aussi, vous voulez de meilleures propriétés de limites que l'intégrale de Riemann, à savoir si les fonctions dans une séquence sont intégrables, donc si la fonction à laquelle la séquence converge. Pour remédier à ces lacunes, le Lebesque (le-BECK) intégrales, introduites en 1902, les côtelettes jusqu'à la plage à la place du domaine, comme l'intégrale de Riemann fait. Cela soulève la question de savoir comment mesurer la quantité du domaine a été envoyé dans une partition de la gamme. Théorie de la mesure fournit des outils pour une telle mesure.
Définition de la mesure
Pour rendre la Lebesque intégrale plus largement utile que l'intégrale de Riemann, la notion de «mesure» est d'abord défini en termes généraux. La définition de la mesure est une longue définition que l'on retrouve dans toute analyse réelle manuel. Il intègre des notions intuitives que nous avons de la longueur et de mesure - par exemple, que l'ensemble vide est de mesure nulle, et que si l'ensemble A est dans la série B, la mesure ne peut pas être supérieure à B.
Mesure extérieure et intérieure
Une mesure externe d'un ensemble ouvert est définie comme la somme des mesures des ensembles finis (ou infini dénombrable) ouverte qui sont la décomposition unique de l'ensemble. La mesure externe de l'ensemble est défini en termes de borne inférieure de la mesure contenant des ensembles ouverts.
Une mesure interne de l'ensemble A dans la série E est définie comme la mesure externe de E moins la mesure extérieure du complément de A par rapport à E. Cela est certainement une façon détournée de définir une mesure, mais permet d'éviter les problèmes lors de l'ensemble A est pas directement mesurable en termes d'une mesure extérieure.
Si les mesures extérieures et intérieures sont égales, l'ensemble est appelé «Lebesque-mesurable."
Lebesque-intégrable
Une combinaison de la définition de la mesure et la nouvelle définition des intégrales des rectangles avec une longueur prolongée au lieu de la hauteur conduit finalement à la capacité à résoudre pour les zones que l'intégrale de Riemann ne peut pas. Un résultat des définitions est appelée la convergence Théorème Lebesque Dominée, ce qui équivaut l'intégrale d'une limite de séquence avec la limite des intégrales des éléments de séquence. En conséquence, le problème plus tôt avec des nombres rationnels et irrationnels pourrait être énoncé comme suit: Définir une fonction fr (x) (ra indice) qui est égale à 1 partout sauf pour les premiers "r" nombres rationnels, quand commandé dans un pré-défini pour dénombrable. fr (x) est égal à 0 à ces points finis. L'intégrale de ces fonctions est égal à 1, et donc aussi la limite de fonctions telles que "r" tend vers l'infini. Par la convergence Théorème Dominée, l'intégrale de la fonction égale à 1 pour irracionales et 0 pour tous les irracionales entre 0 et 1 est donc 1.