Théorie de la fonction de densité

November 18

Dans la probabilité, une fonction de densité donne la densité de probabilité pour des valeurs de variables. De telles variables, appelées «variables aléatoires» ou «covariables» dans les statistiques, sont attribuées des valeurs de probabilité par la fonction de densité, qui va également par le nom "de la fonction de densité de probabilité" et pdf Une fonction de densité simple, familier à la plupart est l'attribution d'une probabilité de 0,5 à têtes et de 0,5 à queues dans un tirage au sort. Une autre fonction familière de densité est normale ou gaussienne, la distribution en forme de cloche. La superficie totale sous une fonction de densité est égale à un, puisque la zone pour chaque valeur représente sa probabilité.

Formulaire continu

Théorie de la fonction de densité


Nous sommes familiers avec des probabilités discrètes de pile ou face et des rouleaux de dés. Dans probabilité discrète, chaque valeur donnée a sa propre probabilité. Par exemple, le risque de deux dés à venir ceux est 1/36. Fonctions continues de densité, cependant, attribuer aucune probabilité à une valeur unique, pour une plage de valeurs. Par exemple, la probabilité de densité continue d'avoir un QI de 100 (le QI le plus courant) est égal à zéro. Mais avoir un QI entre 99 et 101 a une probabilité de 5,32 pour cent. La probabilité d'une plage peut être trouvée par le calcul, en prenant l'intégrale (trouver l'aire sous la fonction de densité) sur la plage d'intérêt.

Relation avec la fonction de distribution cumulative

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Une fonction de distribution cumulative (cdf) accumule les probabilités pour une fonction de densité inférieure à un certain point. Si une courbe est continue, la cdf, F (x), est l'intégrale jusqu'à x du pdf, f (x). Un pdf peut être dérivé d'un cdf en utilisant le calcul de prendre son dérivé.

Densité conjointe

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Une fonction commune de densité donne la distribution de probabilité pour des variables multiples. Par exemple, l'âge, indice de masse corporelle et la pression artérielle peuvent être des variables utilisées pour déterminer la probabilité de vivre après l'âge de 75.

La fonction de densité d'une variable aléatoire individuelle peut être trouvé à partir d'une fonction de densité conjointe en intégrant. Il est une simple question de l'intégration de l'écart de toutes les variables d'un pdf, sauf un.

Densité conditionnelle

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Une fonction de densité conditionnelle peut être calculée à partir d'une fonction articulaire et une seule variable densité. A noter que, dans un diagramme de Venn, la probabilité de x donnée y est le rapport entre le chevauchement de x et y divisée par la surface de y. De même, le pdf de x données y est le rapport entre le pdf de x et y, divisé par le pdf donnée y.

Copula Fonction de densité et la queue Epaisseur

Parce que les pièces à faible probabilité d'une fonction de densité représentent des événements extrêmes, il peut être essentiel de trouver une fonction de densité qui représente avec précision la queue (extrémité étroite) de la distribution empirique. Cela peut être difficile en raison du manque de données, étant donné que la queue représente les événements rares.

Cette question a été dans les nouvelles récemment en raison de la crise financière de 2008-2009 résulte en grande partie de l'utilisation mal informé des constructions mathématiques appelées «copules» pour gérer le risque. Les copules généralement utilisés risque modélisé avec des distributions normales, lorsque de nombreuses situations sont mieux modélisés avec une fonction de densité plus épaisse queue d'attribuer une plus grande probabilité d'événements catastrophiques.