Le rayon de convergence peut être considéré comme un ensemble de valeurs dans la variable indépendante d'une série de puissances au-dessus de laquelle la série se rapproche d'une limite finie. Pour la variable indépendante x d'une série de puissance convergente qui se développe autour de la valeur un, le rayon de convergence R est mathématiquement écrit comme R <| xa | ou un groupe - R <x <a + R. Vous pouvez choisir parmi plusieurs tests différents pour la convergence en fonction de la nature (n-dépendance) de la série en question, y compris le test du rapport.
Instructions
1 Notez la série dans la notation de sommation. Pour ce faire, dessiner un grec symbole sigma de capital et écrire "n = 1" directement en dessous. Dessinez le symbole de l'infini au-dessus du sigma. Maintenant, écrire l'équation (x-1) ^ (n) / (3n) directement à la droite de la sigma. Cela commence le problème en identifiant la série de puissance dont le rayon de convergence que vous serez trouver.
2 Écrire l'équation de la limite lorsque n tend vers l'infini de la valeur absolue du rapport de la (n + 1) ième terme pour la nième terme de la série. Pour ce faire, notez "L = lim" et "n-> infini" sous "lim". Ecrire la valeur absolue du rapport directement à la droite de "lim". Vous disposez maintenant d'une deuxième ligne de votre problème qui ressemble à ceci: L = lim | [(x-1) ^ (n + 1) / (3 (n + 1))] [3n / (x-1) ^ ( n)] | (Quand n tend vers l'infini). Annuler vos termes tels et factoriser le coefficient, ce qui réduit la limite de L = | x-1 | lim | (n / (n + 1)) | (Quand n tend vers l'infini).
3 Déterminer la limite. Évaluer trois ou quatre valeurs de n pour voir quelle valeur se rapproche de l'équation. Pour n = 10, vous avez L = | (x-1) (10/11) |. Pour n = 100, vous avez L = | (x-1) (100/101) |. Pour L = 1000, vous avez L = | (x-1) (1000/1001) |. A partir de ces trois évaluations, vous voyez que le (n / (n + 1) partie de la relation se rapproche de la valeur 1 lorsque n tend vers l'infini Par conséquent, votre limite est L = |. (X-1) (1) | = | x-1 |.
4 Notez et résoudre l'inégalité de test du rapport résultant. La règle du test du rapport est que la limite de la valeur absolue du rapport des termes adjacents doit être inférieur à un, ou L <1. Pour le cas de votre exemple, vous avez L = | x-1 | <1. Résoudre l'inégalité vous donne -1 <x - 1 <1 ou 0 <x <2. Vous savez maintenant que votre intervalle de convergence est compris entre 0 et 2, et peut ou peut ne pas inclure les valeurs 0, 2 ou les deux . Néanmoins, vous avez autant d'informations que vous avez besoin pour trouver le rayon de convergence.
5 Calculer la longueur de l'intervalle et de diviser par deux. Pour votre exemple, vous avez R = (0 + 2) / 2 = 1.