Formule de calcul du volume

September 17

Calcul peut être utilisé pour trouver une gamme de formules pour le volume et la région, mais les Grecs anciens savaient formules pour le volume sans l'utiliser du tout. Ils ont trouvé des formules pour le volume de la sphère, le cône, d'une pyramide, et même pour des objets avec plus de quatre côtés.

pyramide carrée

Imaginez une pyramide à base carrée, avec une base de la zone a × a, décroissant de superficie jusqu'à un point au sommet. Il y a n couches de hauteur h / n. Une pyramide d'un nombre croissant de couches de plus en plus minces peuvent être construits de telle sorte que la hauteur reste un total constant de h.

Le volume d'un tel empilement de carrés est (du plus grand au plus petit) la somme des durées dans la région de hauteur de chaque niveau: a × a × (h / n) + [(n-1) A / n] x [(n- 1) / n] x (h / n) + [(n-2) / n] x [(n-2) / n] x (h / n) + ... + [a / n] x [ a / n] x (h / n) = a × a × h × 1 / n x [1 + (n-1) ^ 2 / n ^ 2 + (n-2) ^ 2 / n ^ 2 + ... + (1 / n) (1 / n)]

A noter que cela peut être écrite comme une × a × h × 1 / n ^ 3 × [? I ^ 2], où la somme est égale à n (n + 1) (2n + 1) / 6, qui peut être prouvée par mathématique induction. Si les niveaux deviennent plus minces et plus mince, alors n tend vers l'infini. Le premier terme de n de est (2n ^ 3) / (6n ^ 3), qui va à 1/3 que n devient grand.

De sorte que le volume de la pyramide est une × a × h / 3.

L'induction mathématique

Que la somme des carrés 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2 est égal à n (n + 1) (2n + 1) / 6 peut être prouvé par induction mathématique, qui est, prouver que la formule est valable pour n = 1. Ensuite, montrer que si elle est valable pour n, alors qu'elle détient pour n + 1. Par conséquent, il est valable pour tous les entiers positifs n.

Pour n = 1, que l'égalité détient est trivial.

Supposons maintenant qu'elle détient pour n. Puis 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 égaux
n (n + 1) (2n + 1) / 6 + (n + 1). Le but est de réorganiser ce dans la forme (n + 1) ((n + 1) +1) (2 (n + 1) +1) / 6. Cela montrera que si la somme des carrés jusqu'à n ^ 2 est égal, n (n + 1) (2n + 1) / 6, la même égalité est valable pour n + 1.

n (n + 1) (2n + 1) / 6 + (n + 1) = (2n ^ 3 + 2n ^ 2 + n ^ 2 + n) / 6 + n ^ 2 + 2n + 1 = [(2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n) + (6n ^ 2 + 12n + 6)] / 6 = (2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 3n ^ 2 + 9n + 6) / 6 = (n ^ 2 + 3n 2) (2n + 3) / 6 = (n + 1) (n + 2) (2 (n + 1) 1) / 6
qui devait être prouvé.

Une généralisation

Notez que le volume d'une pyramide à base carrée est 1/3 du volume d'un bloc de hauteur h avec une base carrée. La forme de la base n'a pas d'incidence sur ce résultat. Il est donc un résultat généralisables.

On peut montrer qu'une figure avec la même forme pour chaque niveau, convergeant vers un point au sommet, est de 1/3 du volume d'une figure de la même hauteur et la taille de forme constante à toutes les hauteurs.

Par conséquent, notez que la formule pour un bloc triangulaire de côtés a et la hauteur h est ha ^ 2sqrt (3) / 4. Une pyramide triangulaire de côtés et une hauteur h est donc ha ^ 2sqrt (3) / 12.

En outre, le volume d'un cylindre de rayon est pi x hauteur x ^ 2. Le volume d'un cône est donc pi x rayon ^ 2 x hauteur / 3.