La formule de base pour le volume est la largeur x hauteur x profondeur. Cette formule peut être utilisée non modifiée pour les blocs avec des faces planes.
Toutefois, pour des formes irrégulières, d'autres approches doivent être trouvées, par exemple en remplissant le volume avec de tels blocs, et en additionnant les volumes de blocs. L'augmentation de la précision en utilisant un nombre croissant de petits blocs est la base de calcul du volume par le calcul, soit par intégration. Cette approche est particulièrement utile pour une forme délimitée par une fonction connue.
L'intégration
Une double intégration de [f (x, y) - g (x, y)] sur une certaine zone déterminée donne le volume de l'espace entre les fonctions. [F (x) - g (x)], qui sert à la hauteur des blocs, est multiplié par les écarts dy dx, dont le produit sert à la largeur et la profondeur du bloc. La somme est effectivement de blocs de taille finie à la section infinitésimale transversale horizontale.
Un exemple: Un calcul du volume entre f (x, y) = xy, g (x, y) = x + y sur la place de l'unité dans le quadrant supérieur droit implique la résolution ?? (Xy) (x + y) dxdy, où l'intégration est de 0 à 1 pour les deux variables.
méthodes euclidiennes
La méthode de détermination superficie et le volume des formules dans d'Euclide de \ "Elements \" peut être décrit comme similaire à l'intégration, dans le sens où les formes géométriques du nombre croissant et la diminution du volume individuel remplir la forme. Par exemple, pour trouver l'aire d'un cercle, la zone est remplie avec des triangles avec des sommets au centre du cercle et deux points touchant le cercle. Le volume des triangles est calculée, puis le cercle est rempli avec des triangles plus étroites, et ainsi de suite. Cela établit une limite inférieure de la zone de cercle. Puis triangles qui se prolongent en dehors du cercle de telle sorte que la base, et non pas des points, touchent le cercle, sont utilisés pour établir une limite supérieure. De cette façon, pi peut être estimé par les anciens.
Volume de parallélépipède formé par trois vecteurs
Le triple produit scalaire, | (a × b)? c |, donne le volume d'un parallélépipède. Par conséquent, a, b et c sont des vecteurs, et x et? sont le produit croix et produit scalaire, respectivement.
| A × b | = | A || b | cos?
où ? est l'angle entre les vecteurs a et b.
Par conséquent, un bx trouve l'équivalent de la surface rectangulaire de base. (? Ne doivent pas être connu puisque le produit croix peut être trouvé par le composant par composant multiplication.)
Si P est le pseudovecteur a × b, c trouve le produit scalaire P la valeur |? P || c | sin?, à savoir trouver efficacement la hauteur du vecteur c par rapport au plan formé par a et b. (Encore une fois, l'angle ne doit pas être connu puisque le produit croix peut être trouvé par le composant par composant multiplication.)