Un triangle avec les angles de 30, 60 et 90 degrés est par définition un triangle rectangle parce que l'un des angles est de 90 degrés - un angle droit. Ces triangles figurent fortement dans l'instruction de la trigonométrie, il est donc intéressant de connaître à la fois ce que les longueurs des côtés d'un tel triangle sont ainsi que la façon dont ils peuvent être dérivés.
Instructions
1 Orientez le triangle 30-60-90 de telle sorte que le côté mi-long est horizontal sur le fond et le côté le plus court est sur la droite. Ensuite, l'angle de 30 degrés sur la gauche et l'angle de 60 degrés est sur le dessus. Indiquer la longueur de l'hypoténuse par la lettre H.
2 Déterminer la longueur du côté le plus court en divisant H par 2. Déterminer la longueur du côté inférieur en multipliant H par? 3/2. Vous pouvez également déterminer la longueur de la partie inférieure en multipliant le côté le plus court par? 3, qui peut être plus facile de se rappeler que le nombre? 3/2.
3 Déterminer H si l'un des autres côtés est donnée en multipliant le côté le plus court de 2 ou en multipliant les côtés de longueur moyenne de 2 /? 3. Bien sûr, si vous savez deux côtés, vous êtes autorisé à utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le troisième parce qu'il est un triangle rectangle.
4 Derive où les numéros précédents proviennent de la manière suivante. Placez deux triangles 30-60-90 de la même taille dos à dos, avec leurs côtés de longueur moyenne de toucher au milieu et leurs côtés les plus courts formant une ligne droite sur le fond. Notez que ces deux triangles forment maintenant un triangle avec tous les angles égaux à 60 degrés. Le triangle est donc équilatéral. Du fait que les angles sont tous les mêmes, les longueurs sont toutes les mêmes. Ainsi, les trois côtés sont de longueur H. Remarque surtout que le côté inférieur est de longueur H. Comme le fond est constitué par les deux côtés les plus courts-, le côté le plus court du triangle 30-60-90 est H / 2. Par le théorème de Pythagore, du côté du milieu doit être d'une longueur H? 3/2.
Conseils et avertissements
- Les côtés d'un triangle 30-60-90 avec une longueur 1 hypoténuse figurent fréquemment dans les exercices trigonométriques. Si vous placez le triangle dans un cercle telle unité que le côté le plus court se trouve sur l'axe des x positif et l'hypoténuse de longueur 1 tronçons de l'origine du cercle unité, le point d'intersection sur le cercle unité a coordonnée x 1 / 2 et coordonnée y? 3/2. Ceux-ci sont appelés les cosinus et sinus de 30 degrés. Si le triangle est tourné de sorte que le côté mi-long se trouve sur l'axe x positif au lieu, le point d'intersection sur le cercle unité a coordonnée x? 3/2 et coordonnée y 1/2. On dit alors que le cosinus de 60 degrés est 1/2 et le sinus de 60 degrés est? 3/2.
- Par un raisonnement similaire, le sinus et cosinus de 45 degrés sont à la fois? 2/2 = 1 /? 2 car un triangle 45-45-90 degrés avec unité hypoténuse a des côtés de longueur 1 /? 2. Notez que, par conséquent que vous allez 30-45 à 60 degrés, le cosinus diminue de? 3/2? 02.02 à 01.02? (= 1/2), et les augmentations de sinus? 1/2 à? 2/2 à? 3/2. Ce modèle fournit une mnémotechnique utile pour les numéros discutés dans les étapes 1 à 3.
- Ne confondez pas le triangle discuté ci-dessus avec le triangle 3-4-5, qui a un rapport simple des parties à l'autre, mais ne possède pas les mêmes angles que le 30-60-90 triangle rectangle.