Lorsqu'un vecteur est défini, sa direction est pas nécessairement explicitée. Sa longueur peut être connu, mais pas sa direction. Par exemple, le vecteur (1,1) indique clairement à un angle de 45 degrés par rapport à l'axe x, bien que cela ne soit pas explicité dans le vecteur lui-même.
De même, une feuille en trois dimensions peut être spécifié par une fonction, F (x, y, z) = constante, mais le sens de la normalité ou de la plus grande pente ne serait pas explicite, mais doit être calculée à partir de la fonction.
Instructions
Vector Two-Dimensional
1 Déterminer le x et y constituant du vecteur d'intérêt.
2 Dessinez un diagramme avec la queue de vecteur à l'origine, de sorte que l'angle "thêta" représente l'angle de vecteur par rapport à l'axe des x positif.
3 Résolvez tan (thêta) = y / x. Cela peut se faire facilement avec une calculatrice en entrant y / x, puis en prenant la tangente inverse (ie, l'arctangente).
Vector Three-Dimensional
4 Déterminer les axes x, y et z composante du vecteur.
5 Résolvez pour le produit croisé du vecteur avec l'axe des x pour obtenir à nouveau l'angle de l'axe-x. Plus précisément, (x, y, z) --- (1,0,0) = (0, z -y). (Cela peut être vérifié facilement avec tout manuel qui comprend des opérations vectorielles de base.)
6 Résoudre pour la longueur du produit en croix. Plus précisément, appliquer le théorème de Pythagore pour (0, z, -y). √ [0 ^ 2 + z ^ 2 + (-y) ^ 2] est la solution pour la longueur du produit en croix.
7 Résoudre l'angle entre le vecteur et l'axe des abscisses (par exemple, pour thêta), en utilisant le fait que la longueur du produit en croix est aussi égal à (longueur du vecteur) multiplié par (la longueur du vecteur unitaire le long de l'axe des x) fois sin (thêta). Cet angle est la direction du vecteur par rapport à l'axe x. Angles par rapport aux autres axes se trouvent d'une manière similaire.
Vecteur normal
8 Déterminer F, de telle sorte que la surface est décrite par F (x, y, z) = 0.
9 Résoudre pour le gradient de F. Plus précisément, le gradient est le vecteur des dérivées partielles de F en tant que composants, qui est (∂F / ∂x, ∂F / ∂y, ∂F / ∂z). Pour ceux qui ne connaissent partials, ils sont dérivés par rapport à une variable, en maintenant les autres constants. Par exemple, si F (x, y, z) = x + 3y + zx, puis ∂F / ∂x = 1 + z et ∂F / ∂y = 3. Ce vecteur est le vecteur normal.
dix Notez que pour le cas particulier d'un avion, ax + by + cz = 0 a un vecteur normal (a, b, c).
Sens de Steepest Augmentation
11 Déterminer la fonction f (x, y) de telle sorte que la surface soit pas décrit par une équation F (x, y, z) = 0, mais à la place de la fonction f (x, y).
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Résoudre le gradient de f (x, y), qui est (df / ∂x, ∂f / ∂y), où ∂ se réfère aux dérivées partielles, comme expliqué précédemment. Ce point de vecteur dans la direction, dans le plan xy, de plus raide augmentation de la valeur de f au (x, y).
13 A noter que ce vecteur est dans le plan xy, et non à la surface elle-même.
Conseils et avertissements
- Le gradient d'une fonction à deux dimensions est effectivement le même que pour la résolution d'un vecteur normal au (x, y) d'une courbe dans le plan xy. Réglage de f (x, y) à une constante peut être considéré visuellement comme isobares sur une carte météorologique. Les trois variables de variation de pression par x et y sont représentés de façon bidimensionnelle en traçant des lignes à travers les points d'une valeur constante de f. La normale à l'un de ces isobares pointe vers le centre d'un système à basse pression ou haute pression. Le gradient est donc orienté dans le sens de la plus grande pente. Ainsi, dans les deux utilisations du gradient ci-dessus, soit f (x, y) = constante et F (x, y, z) = cte, le gradient est utilisé de la même manière - pour trouver le vecteur normal. Comment cela peut-être, si les deux représentent des surfaces 3-D? f (x, y) représente une surface en 3-D, mais la fonction f (x, y) = constante ne fonctionne pas.