Méthodes d'introduction de l'analyse numérique

December 25

Méthodes numériques pour l'analyse technique sont communs, car la plupart des équations mathématiques qui régissent les phénomènes physiques sont insolubles analytiquement. Le processus de base de l'analyse numérique commence par décrire un problème physique en termes mathématiques. L'ingénieur peut alors choisir un modèle mathématique, le programme et obtenir les résultats, mais cela ne suffit pas. L'ingénieur doit également utiliser ses connaissances et son expérience pour interpréter les résultats.

Méthodes Iteration

Méthodes d'introduction de l'analyse numérique


La plupart des méthodes d'itération commencent par une estimation de la solution, calculer un raffinement et ensuite utiliser ce calcul pour obtenir un autre raffinement. Deux méthodes d'itération communes pour les équations algébriques sont la méthode de Newton et de la méthode de la sécante. Ces deux méthodes nécessitent une «estimation» initiale qui est proche de l'une des racines de l'équation. Pour une équation du troisième ordre, par exemple, trois solutions existent, mais ces méthodes ne convergent vers le plus proche de l'estimation initiale.

Méthodes d'interpolation

Méthodes d'introduction de l'analyse numérique


Les méthodes d'interpolation nécessitent deux valeurs connues pour commencer. L'idée de base est de déterminer un polynôme qui se rapproche de la fonction entre les deux valeurs, puis calculer une estimation pour un point le long de ce polynôme. La méthode la plus fondamentale est la méthode de Lagrange, mais elle ne peut accueillir un polynôme à la fois. Si le calcul initial utilise un polynôme linéaire, mais un polynôme quadratique est nécessaire, vous devez recommencer. divisé l'interpolation de différence de Newton est plus souple, permettant des noeuds espacés de façon arbitraire et l'utilisation de termes polynomiaux supplémentaires pour augmenter la précision. Si les noeuds sont également espacés, l'interpolation de Newton simplifie en une série de formules de différence qui sont utiles dans la différenciation numérique.

Différenciation numérique

Méthodes d'introduction de l'analyse numérique


méthodes de différence se prêtent très bien à la différenciation numérique. Les différences pour les premiers dérivés peuvent être en avant, en arrière ou central. Celui que vous choisirez dépendra de l'information que vous devez commencer avec, le degré de précision dont vous avez besoin et le modèle qui correspond à votre phénomène physique. Deux façons de tirer ces méthodes analytiquement sont de simplifier divisé l'interpolation de différence de Newton ou différencier le polynôme de Lagrange approprié. les équations de différence sont dérivées de manière empirique, en utilisant les propriétés physiques du problème en cours d'analyse et des formules mathématiques comme Taylor de la série de Fourier.

intégration numérique

Méthodes d'introduction de l'analyse numérique


La méthode de base de l'intégration numérique est la règle du rectangle. La règle du trapèze est tout simplement une variante plus précise de la règle du rectangle. Les deux méthodes de calculer les zones supplémentaires sous la courbe définie par une fonction. La règle du rectangle est une approximation constante par morceaux, et la règle du trapèze est une approximation linéaire par morceaux. Une technique encore plus précise est la règle de Simpson, une approximation quadratique par morceaux. Contrairement aux deux autres méthodes, la règle de Simpson nécessite l'espace de calcul pour être divisé en un nombre égal de sous-intervalles.