Beaucoup de gens ont vu la plus élémentaire des équations linéaires, y = mx + b. De là, toute une branche des mathématiques a formé à travers les siècles. équations linéaires, ou des solutions basées sur des équations linéaires sont autour de nous chaque jour - des voitures que nous conduisons, les ordinateurs que nous utilisons, aux bâtiments que nous occupons. Sans équations linéaires, nous mener une vie beaucoup plus simple.
Définition
Une équation linéaire est une dans laquelle toutes les variables sont séparées et aucun d'entre eux ont un exposant d'une autre. Par exemple, f (x, y, z) = 2x + 3xy + z ^ 2 ne représente pas une équation linéaire parce que "x" et "y" sont multipliés ensemble et "z" a un exposant de deux. D'autre part, f (x, y, z) = 2x + 4y + 3z est une équation linéaire. Pour deux ou trois dimensions, cette équation représente une ligne droite dans l'espace. Pour plus de dimensions, il représente toujours une ligne droite, mais seulement dans le sens théorique. Vous ne pouvez même pas imaginer une "ligne droite" dans un espace de 10 dimensions, mais c'est ce une équation linéaire 10 variable représente.
Systèmes
Résoudre des équations linéaires multivariables nécessite un peu plus de connaissances que juste une seule équation. En fait, pour un système avec des variables "n", vous aurez besoin "n" équations avec ces variables afin de trouver une solution. La méthode la plus courante de l'affichage d'un système d'équations linéaires est avec des matrices. La matrice de coefficients est une matrice "nxn" contenant les coefficients de toutes les variables du système d'équations, tandis que le vecteur solution est habituellement un vecteur de colonne ou une matrice «nx 1", qui contient toutes les constantes. Pour l'équation 3x - 2y + 4z = 12, les coefficients 3, -2 et 4 serait une partie de la matrice de coefficients et 12 feraient partie du vecteur de solution.
Élimination
La méthode la plus fondamentale pour résoudre un système d'équations linéaires est une forme d'élimination. La méthode d'élimination la plus connue est l'élimination de Gauss. Pour ce faire l'élimination de Gauss, vous devez augmenter la matrice de coefficients avec le vecteur de solution. Ceci est généralement désigné par le caractère "|" symbole. Par exemple, une rangée de sapins augmentée d'un système 3 X 3 pourrait ressembler [2 3 5 | -2]. Élimination de Gauss vous donnera une solution pour la dernière variable dans le système. Vous devez alors remplacer la solution à travers les autres lignes de la matrice de trouver des solutions pour toutes les autres variables.
Orthogonalité
Lorsque deux lignes se croisent dans l'espace à deux ou trois dimensions selon un angle de 90 degrés, ils sont perpendiculaires. Ces deux lignes ont des propriétés spéciales liées les unes aux autres que les mathématiciens peuvent utiliser dans d'autres solutions. De même, même si vous ne pouvez pas l'imaginer, deux lignes peuvent se rencontrer dans un espace de 10 dimensions à un angle de 90 degrés. Au lieu de "perpendiculaire", ils sont "orthogonaux." Pour savoir si deux lignes sont orthogonales, vous devez calculer le produit scalaire des vecteurs formés par les équations. Si le produit intérieur, ou "produit scalaire" est égal à zéro, alors que les lignes sont orthogonales.
Indépendance
Un système ne peut avoir une solution unique si toutes les équations sont linéairement indépendantes. indépendance linéaire exige qu'aucune équation soit une combinaison linéaire d'une autre équation ou les équations dans le système. Par exemple, 6x - 4y + 8z = 10 et 3x - 2y + 4z = 5 sont linéairement dépendants, parce que la première équation est deux fois la deuxième équation. Si vous effectuez l'élimination de Gauss sur un système d'équations linéaires, toute ligne avec un pivot zéro lorsque vous avez terminé représente une équation dépendante. Toutes les lignes de pivots numériques sont linéairement indépendantes les unes des autres. Si vous avez un système "nxn", et l'une des équations est linéairement dépendant, vous ne pouvez pas trouver une solution pour le système.