Dans un polynôme complexe, la variable peut prendre une valeur en d'autres termes, un nombre complexe avec une composante imaginaire. Une conséquence du théorème fondamental de l'algèbre célèbre est que tout polynôme complexe doit avoir une racine complexe. Il en résulte que \ "n \" facteurs linéaires existent pour chaque polynôme complexe. Vous pouvez résoudre les racines de ces facteurs numériquement. "Numériquement" signifie ici que d'un ordinateur exécuterait un algorithme qui converge sur chaque racine par itérations successives. Parmi les algorithmes numériques racines trouver, la méthode de la norme Newton, cependant, peut trouver les racines sans modification.
Instructions
1 Prendre la première dérivée du polynôme complexe. Par exemple, supposons que vous devez prendre en compte z ^ 2 + z + 1. Sa dérivée est 2z + 1.
2 Former un rapport du polynôme divisé par sa dérivée. L'exemple donne le rapport (z ^ 2 + z + 1) / (2z + 1).
3 Devinez à un nombre proche de l'une des racines du polynôme. Désignons il z_0, comme si le 0 est un indice. Toujours choisir un composant complexe, ou bien cet algorithme ne fonctionnera pas.
En continuant avec l'exemple, essayez z_0 = 1/2 + i / 2.
4 Créer un nouveau numéro, z_1 noté, en soustrayant le rapport dérivé évalué à z_0 de z_0 lui-même.
En continuant avec l'exemple ci-dessus, z_1 = z_0 - (z_0 ^ 2 + z_0 + 1) / (2z_0 + 1) = (1/2 + i / 2) - ((1/2 + i / 2) ^ 2 + ( 1/2 + i / 2) + 1) / (2 (1/2 + i / 2) + 1) = (1/2 + i / 2) - ((1/2 + i / 2) ^ 2 + (1/2 + i / 2) + 1) / (2 (1/2 + i / 2) + 1) = i / 2 + ½ - (i + 3/2) / (2 + i). Pour simplifier encore, rappelez que vous pouvez multiplier le rapport (2-i) / (2-i) de faire le dénominateur réel. Cela donne -3/10 + 2i / 5. (Si vous utilisez la formule quadratique pour résoudre z ^ 2 + z + 1 = 0, vous verrez que, dans la première itération seul, vous êtes venus très près de l'une des deux racines.)
5 Utilisez le z_1 résultant de l'étape 4 pour créer un Z_2 en utilisant la même formule. Gardez itérer (création z_3, z_4, etc.) jusqu'à ce que votre algorithme converge sur une solution. Désignons cette solution racine que z *.
6 Diviser zz * dans votre polynôme complexe et soit le facteur à la main si assez simple ou appliquer la méthode de Newton à elle, comme indiqué ci-dessus. Continuez à répéter ces étapes jusqu'à ce que vous trouverez toutes les n racines de votre polynôme d'ordre n. La factorisation de votre polynôme est alors le produit des binômes (z-root1), (z-root2), etc., où root-i est la racine i-ième que vous avez trouvé.
Conseils et avertissements
- Si vous prenez les racines d'un nombre complexe spécifique, vous pouvez appeler le théorème de DeMoivre. Théorème de DeMoivre indique que si z = re ^ (i?), Puis il y a exactement n distinctes racines n-ièmes de z. Ils sont r ^ (1 / n) e ^ [i * (2? K) / n] pour k = 0 à n-1.
- L'estimation initiale doit toujours avoir un composant complexe. Dans le cas contraire, les z_n de itérés ne quitteront pas l'axe réel.
- La méthode de dichotomie ne fonctionnera pas pour cela, puisque les racines doivent se limiter à une seule dimension pour la méthode de bissection pour travailler. Et bien sûr, les nombres complexes ne se limitent pas à une seule dimension. Ils se trouvent dans le plan complexe à deux dimensions.
- Vous pouvez penser que la multiplication de la composante réelle et complexe de z dans votre polynomiale et en utilisant la méthode de Newton sur les deux polynômes séparément conduirait à vos réponses. Cependant, une fois que vous apprenez les composants réels et complexes des racines, vous ne saurez pas quel composant réel appartient à quel composant complexe.