Un problème commun à tester les élèves de calcul de leur compréhension de l'intégrale de la ligne est de déterminer la masse totale d'un fil qui varie selon la densité. Bien entendu, si la densité est constante sur toute la longueur du fil, le problème est trivial - juste une question de multiplication de la longueur totale de la densité constante. Une partie intégrante de la ligne, par rapport à un fil de densité variable, traite toute la longueur du fil en petits morceaux, résumant la masse de tous ces petits morceaux.
Instructions
1 Créer une ligne intégrée, en utilisant un "très petit" ou longueur différentielle? S ou ds fois la fonction, ce qui donne la densité du fil à différentes positions f (x, y).
Par exemple, supposons que la fonction de densité f (x, y) = 4xy. Le intégrand qui sera intégré sera alors ds 4xy.
2 Ecrire ds en termes d'un paramètre t qui concerne x et y. Supposons que vous êtes donné que le vecteur r (t) = x (t) i + y (t) j, où r, i et j sont des vecteurs, des traces sur la courbe du fil. (I et j sont des vecteurs unitaires dans les directions x et y directions.) A noter qu'une longueur différentielle dans le plan xy est? (Dx 2 + dy ^ ^ 2). Cela peut être réécrit pour prendre les différentiels de sous le signe radical comme suit:? Dt [(dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2].
3 Ecrire l'intégrande en termes du paramètre t.
Par exemple, supposons que le fil est décrit par r (t) = x (t) + i y (t) j, où x (t) = t et y (t) = t ^ 2-1, pour t = 1 3. Ensuite, en continuant avec l'exemple précédent, f (x, y) = 8 (y + 1) / x = 8T, ds dt devient [(dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2] dt = [(1) + 2 ^ (2t) ^ 2] = dt? [^ 4t 2-1]. Donc, l'intégrande complet est? [4t ^ 2-1] × [8t] dt.
4 Intégrer sur la longueur du fil par rapport au paramètre t.
Par exemple, la ligne dans notre exemple est de t = 1 à 3. Ainsi, la masse du fil est ?? [4t ^ 2-1] × [8t] dt, qui est facilement résolu avec la connaissance de la règle de la chaîne pour obtenir la différence de (2/3) [4t ^ 2-1] ^ 1,5 évaluée à 3 et 1, ou (2/3) [35 ^ 1,5-3 ^ 1,5] = 134,58. Ceci est la masse du fil dans notre exemple.