Gauss-Jordan élimination est une version d'élimination de Gauss dans les systèmes d'équations linéaires de résolution. Les coefficients variables, au lieu d'être simplement réduit à un triangle, sont réduits à une diagonale. Ceci élimine la nécessité de remplacement successif, ce qui simplifie le codage pour la programmation de l'ordinateur.
Instructions
1 Créer une matrice des coefficients des équations linéaires.
Les équations ont toutes leurs variables sur la gauche - et constantes sur le droit - de l'égalité. L'équation de la matrice est alors AX = C, où X et C sont des vecteurs de même longueur, et A est une matrice.
2 Utilisez la rangée supérieure en A pour éliminer le premier terme de la deuxième rangée.
Ceci se fait en multipliant par la deuxième rangée et la constante C dans la même rangée par un scalaire qui rend le premier élément négatif du premier élément de la première rangée. La deuxième ligne en A et C sont ensuite remplacés par la somme des première et deuxième rangées. La deuxième ligne a maintenant un zéro dans le premier terme. A 2 x 2 par exemple, lorsque la troisième colonne est C:
2_4 2
1_3__4
se transforme
_2
4 2
-2 -6 -12
se transforme
2 4____2
0 -2 ___- 10
3 Éliminer le second terme de la première ligne en utilisant un multiple scalaire de la deuxième rangée.
La stratégie est similaire à celle dans l'étape ci-dessus, la multiplication de la deuxième rangée par un scalaire à faire son premier terme non nul le négatif de l'élément au-dessus.
En continuant avec l'exemple ci-dessus,
2 4__ 2
0_-2-_ 10
se transforme
2_
4 2
0_-4 -20
se transforme
2 0 -18
0_-4 __- 20
La deuxième rangée peut être retourné à sa forme plus simple d' origine, ou encore réduit.
2_0 -18
0_1___5
4 Répétez ces étapes pour toutes les lignes suivantes ci-dessous, jusqu'à ce que les éléments hors diagonale de A sont tous nuls.
5 Utilisez la diagonale à résoudre pour la valeur de chaque variable.
2 0 -18
0 1___5
signifie que 2x = -18 (ou x = -9) et y = 5.
Pour un exemple de 3 x 3,
3_0 0 6
0_1_0 _5
0_0 4 8
3 signifie que x1 = 6, 1 x2 = 5 et 4 * x 3 = 8. Ainsi x1 = 2, x2 = 5 et x 3 = 2.
Conseils et avertissements
- S'il existe une redondance dans les équations, qui est, la diagonale a des zéros à la fin de la procédure, les variables peuvent ne pas être tous déterminables, comportant au moins deux variables à gauche en fonction de l'autre.
- Dans le processus d'élimination des éléments, une constante non nulle peut rester dans C, avec rien dans la ligne correspondante dans A. Le système d'équations est donc contradictoire, et il n'y a pas de solution au système.Par, une diagonale incomplète peut signifier soit les variables ne sont pas entièrement déterminable ou qu'il n'y a pas de solution.