En mathématiques, l'intégration est le calcul d'une zone définie par une fonction. Pour trouver l'intégrale d'une fonction est de trouver la zone entre la fonction et une base, par exemple l'axe des abscisses. L'intégration est d'une plus grande importance, cependant, en sommant le produit de l'évolution des variables et de la manipulation des taux de changement en général.
Région à une courbe
Les anciens Grecs avaient de nombreuses méthodes pour trouver la zone ou le volume d'une figure. L'intégration fait pour un outil plus universel. L'intégration peut être considérée comme une somme de rectangles très étroits sous une fonction f (x). Si "x est la largeur de chaque rectangle, puis l'aire d'un rectangle en x est f (x) fois" largeur x, ou des temps de hauteur. Ainsi, la zone de, disons 0 à 1 est f (0) "x + f (« x) "x + f (2" x) "x + ... + f (1)" x.
Le plus petit nous avons mis en "x, la plus précise l'estimation de la zone. La notation pour cette intégration est ∫f (x) dx. Le" devient d lorsque la largeur des rectangles devient infinitésimale.
Relation avec la antidérivé
L'intégrale d'une fonction est liée à sa primitive. (Un antidérivé, F (x), d'une fonction, f (x), a la propriété que f (x) est la pente de F (x) à x.) Cette relation a été prouvé géométriquement par Isaac Barrow, l'un d'Isaac les professeurs de Newton à Cambridge. La relation est que l'intégrale de (aire sous) f (x) entre les points a et b est égal à F (b) -F (a). Cette relation est si important qu'il a le nom Théorème Fondamental spécial de calcul.
Sachant par exemple que la pente (ie dérivé, ou taux de variation) de x-carré à x est 2x, nous pouvons trouver l'aire sous la fonction 2x. Plus précisément, la zone sous la courbe 2x de x = 0 à x = 1 est x-carré à 1 moins x-carré à 0, soit 1 ^ 2 - 0 ^ 2 = 1.
Les usages
Le chemin étroit rectangle de visualisation intégrales peut être utile pour répondre à une question telle que la façon de déterminer le travail total effectué par une force sur un trajet variable. L'intégration serait plus temps de force "(à distance), où la force est la hauteur rectangulaire et" (distance) est la largeur. Un autre problème de rectangle est de déterminer la force sur un barrage, avec une pression variant avec la profondeur. L'intégration serait plus la pression fois "fois de profondeur" largeur.
Une autre utilisation importante de l'intégration est en probabilité. Si l'aire sous la fonction est 1, et la zone entre x = a et X = b représente la probabilité d'un être variable entre a et b, l'intégrale de la fonction de a à b donne la valeur de cette probabilité.
Rectangles côté, l'intégration montre vraiment ses muscles lorsqu'ils traitent avec des taux de changement. Par exemple, à la surface de la Terre, le taux de gravité de l'accélération, g est une constante de 9,80 mètre par seconde au carré. L'accélération est la vitesse de variation de la vitesse, de sorte que la vitesse est la antiderative d'accélération. Par conséquent, la vitesse d'un objet par aucune autre force à côté de la pesanteur ne peut être trouvée après un temps t par intégration. Une deuxième intégration - cette période de v (t) en tant que taux de variation de la position - permet le calcul de la position après le temps t.
A Pléthore de méthodes
Que accable de nombreux étudiants pour la première fois du calcul est de savoir combien il y a des méthodes pour intégrer: la substitution, la substitution trigonométrique, intégration par parties, et les fractions partielles. La meilleure stratégie pour simplifier il est de reconnaître que la liste est courte, et d'examiner les formes d'équations donnent à ce procédé. Basic pour identifier rapidement la méthode à utiliser est de décider rapidement si trig substitution est utile ou non. À cette fin, il est utile de rappeler les deux identités trigonométriques pertinentes: cosinus carré + sinus carré = 1 et 1 plus tangent-squared est sécant-squared. Il est facile de se rappeler ce dernier en notant il est juste l'ancien divisé par cosinus carré. (Pour cette question, cos-carré + sin-squared = 1 est facile à retenir, parce qu'il est juste le théorème de Pythagore pour un cercle unité.)