Comment calculer le moment d'inertie pour une zone

February 17

Comment calculer le moment d'inertie pour une zone


Le moment d'inertie de la zone est la propriété d'un objet zonale qui quantifie sa tendance à dévier ou à subir le stress lorsqu'une force externe agit sur elle. Le calcul de cette quantité suit le même mode opératoire que celui de l'instant plus connu d'inertie d'une masse qui occupe un volume spatial. Bien que pas une procédure compliquée, déterminer le moment d'inertie pour une zone ne nécessite la connaissance préalable des méthodes d'intégration dans le calcul d'introduction.

Instructions

1 Orientez l'objet zonale dont le moment d'inertie que vous souhaitez déterminer. Dans cet exemple, la place aura son barycentre situé à l'origine du système de coordonnées, et donc étendre de (-1/2) a à (1/2) a dans les deux dimensions x et y.

2 Notez le moment d'inertie tenseur de la zone. Cette quantité prend la forme d'un élément quatre (deux par deux) de la matrice. Ainsi, pour les éléments individuels J (nm) d'un par m matrice, vous pouvez écrire chaque élément comme suit: J (11) = y ^ 2, J (12) = J (21) = -xy, et J (22) = x ^ 2.

3 Intégrer chaque élément du tenseur d'inertie par rapport aux valeurs limites de l'objet. Dans le présent exemple, vous auriez quatre intégrales doubles avec des limites d'intégration en x de (1/2) a et (-1/2) a, et les limites d'intégration en y de (1/2) a et (-1/2 )une. Pour la place, l'intégration des composantes hors diagonale du tenseur apparaît comme suit:

int (int (-xydx, x = (1/2) a.. (-1/2) a).) dy y = (1/2) a. . . (-1/2): A)

= Int (-1 / 2x ^ 2y |... X = (1/2) a (-1/2) a) dy, y = (1/2) a. . . (-1/2): A)

= Int (0, y = (1/2) a... (-1/2) A) = 0,

où "int" signifie "intégration", et "|" signifie «évaluer les limites."

A noter que les composantes diagonales J (12) et J (21) sont équivalentes à un carré. Pour les composants en diagonale, l'intégration apparaît comme:

int (int ((x ^ 2) dx x = (1/2).. a. (-1/2) a)), dy y = (1/2) a. . . (-1/2): A)

Int = (1/3 x ^ 3 |... X = (1/2) a (-1/2): a) dy y = (1/2) a. . . (-1/2): A)

= Int (1 / 12a ^ 3DY, y = (1/2) a... (-1/2 A))

= 1 / 12a ^ 3y | y = (1/2) a. . . (-1/2) Un

= 12/01 (un ^ 3) a = 12/01 (a ^ 4).

On notera que dans le cas d'un carré, les composants J en diagonale (11) et J (22) sont également équivalentes les unes aux autres.

4 Ecrire chaque élément intégré du tenseur d'inertie en place de la relation de l'élément d'origine pour obtenir le moment d'inertie pour la région. Ici, les éléments J (nm) apparaissent comme J (11) = J (22) = 1/4 et 12a ^ J (12) = J (21) = 0.