Juste un cercle est l'ensemble de tous les points dans un plan à deux dimensions à égale distance d'un point central et une sphère est l'ensemble de tous les points en trois dimensions à égale distance d'un point central, en mathématiques, il existe des structures analogues, appelées hypersphères, en dimensions des espaces de plus de trois qui sont l'ensemble des points équidistants d'un point central. Par conséquent, tout comme le volume intégral d'une sphère en trois dimensions peut être obtenue avec le calcul, ne peut donc les volumes intégrante de ces figures de dimensions supérieures.
Instructions
1 Définir le système de coordonnées qui sera utilisé dans le problème. Bien que tout système de coordonnées peut être fait pour le travail, une variation sur les coordonnées sphériques polaires fonctionne le mieux. A titre d'exemple, dans un espace à n dimensions, de définir r comme la distance jusqu'au point central, thêta comme l'angle azimutal et phi1, phi2, ... phi (n-2) en tant que coordonnées angulaires allant de 0 à pi radians.
2 Écrivez le volume de base intégrale sur l'ensemble hypersphère. Ce sera l'intégrale de 0 à un certain rayon R R, et sur la totalité des angles possibles pour chaque coordonnée angulaire, de 0 à 2 pi pour thêta et 0 à pi pour les variables restantes. Les intégrales multiples sont prises de 1 à travers l'élément de volume.
3 Remplacer l'élément de volume avec les termes appropriés calculés à partir du déterminant jacobien. Par exemple, pour une hypersphère en quatre dimensions, il sera:
r ^ 3 sin ^ 2 (phi1) sin (phi2) dr dphi1 Phi2 dtheta.
Pour plus d'aide le calcul du Jacobien, voir le lien de ressource appropriée.
4 Notez la réponse finale après avoir pris chaque intégrale successivement. Dans notre exemple de l'hypersphère à quatre dimensions de la réponse finale est:
(Pi ^ 2/2) * rayon ^ 4.
Conseils et avertissements
- Il existe également des formules récursives pour le volume d'une hypersphère qui vous permettent de trouver la formule pour le volume de la formule de volume de l'hypersphère en deux dimensions moins.