Selon Math World Wolfram, la première solution connue à l'équation quadratique, x ^ 2 + bx + c = 0, a été découvert vers 2000 avant JC Cependant, la solution générale de l'équation cubique z ^ 3 + a_2
z ^ 2 + a_1 z + a_0 = 0 (où * représente la multiplication, le caret ^ signifie exponentiation et a_1 et a_2 sont des coefficients) n'a pas été découvert jusqu'à ce que les 1500s. Cela donne une certaine indication de la différence de la complexité des deux problèmes. Pour résoudre l'équation cubique prend plusieurs étapes, mais pas au-delà de la capacité de tous ceux qui peuvent apprendre et utiliser la solution à l'équation quadratique.
Instructions
1 Résoudre pour Q = (3 * a_1-a_2 ^ 2) / 9, Lire, par exemple, a_1 comme "un sous 1."
Par exemple, si vous voulez résoudre pour z en z ^ 3-3z ^ 2-z + 3 = 0, alors Q = - 4/3.
2 Résolvez R = (9a_2 * a_1 - 27a_0 - 2a_2 ^ 3) / 54.
En reprenant l'exemple, R = 0.
3 Définir w ^ 3 = R +/-? [R ^ 2-Q ^ 3]. Donc, vous aurez deux solutions pour w ^ 3, parce que +/- indique que vous prenez + pour une solution et - pour l'autre. Le signe radical? ici applique à la quantité totale entre crochets [].
En reprenant l'exemple, w ^ 3 = +/- i * (4/3) ^ (3/2), où i est la racine carrée de -1.
4 Mettez w ^ 3 sous forme polaire afin que vous puissiez prendre la racine de cube plus tard. La forme polaire pour un nombre complexe est le rayon * e ^ (i?), Où e est la base du logarithme naturel.
En reprenant l'exemple d'une des valeurs de w ^ 3, i
(03/04) ^ (02/03) est situé sur l'axe y dans le plan complexe. Par conséquent, son angle? doit être? / 2 radians. Son rayon ou distance à l'origine, est simplement sa valeur sans le i, car il n'y a pas de composante réelle de tenir compte dans la distance. Si le rayon e ^ (i?) = [(03/04) ^ (02/03)] * e ^ (? I / 2).
5 Prendre la racine cubique de w ^ 3.
En reprenant l'exemple avec l' un de la valeur de w ^ 3, vous obtenez? (4/3)
e ^ (? I / 6) =? (4/3) [cos (? / 6) + i sin (? / 6 )] =? (4/3) * [? (3/4) + i / 2].
6 Calculer p = (3a_1 - a_2 ^ 2) / 3.
En reprenant l'exemple, p = -4.
7 Résoudre pour x = w - p / (3w). Rappelez-vous que vous avez deux valeurs de w pour le faire pour.
En reprenant l'exemple d'une des valeurs de w, x = p - p / (3w) = (03/04)
+ (03/04) / [(4 [(3/4) + i / 2?]? / 3) [? (3/4) + i / 2]] = 1 + i /? 3 + (03/04) / (1 + i /? 3). Multiplier la partie supérieure et inférieure du rapport à droite par (1-i /? 3) / (1-i /? 3) afin de multiplier le nombre complexe dans le dénominateur. Les pièces complexes soustraient, laissant x = 2.
8 Résolvez pour z = x - a_2 / 3. Ceci est votre solution finale pour le cube d'origine.
En reprenant l'exemple d'une des valeurs de w, z = 2 - (-3) / 3 = 3. Ceci est l'une des solutions aux z ^ ^ 3-3z 2-z + 3 = 0, comme on peut le vérifier par brancher z = 3.