Laplacien est un opérateur différentiel qui calcule la somme des dérivées partielles secondes d'une fonction (voir figure). La différenciation partielle est une approche commune pour obtenir des dérivés d'une fonction de plusieurs variables. Elle considère qu'une seule variable particulière comme une variable à la fois tandis que les autres sont maintenues constantes. Laplacien est d'une grande importance en physique, étant une partie de nombreuses équations fondamentales (par exemple, Schrödinger et Helmholtz équations).
A titre d'exemple, le calcul Laplacien de la fonction: f (X, Y) = 7X ^ 4 + 4Y ^ 2.
Instructions
1 Envisager des règles de différenciation qui seront utilisés dans les autres étapes ci-dessous:
Règle 1. La dérivée de la fonction "X puissance p», c.-à-f (X) = CX ^ p, est df / dx = pCX ^ (p - 1). C est un nombre constant. A noter qu'un dérivé est soit sous forme abrégée df / dX ou f '(X).
Règle 2. Le dérivé d'un nombre constant est de 0.
2 Calculer la première dérivée partielle de la fonction f (X, Y) par rapport à X. En utilisant les règles de l'étape 1, vous devez obtenir:
d (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) / dX = 4 * 7X ^ (4 - 1) + 0 = 28X ^ 3.
A noter que le terme «4Y ^ 2» est considéré comme une constante, et sa dérivée est nulle.
3 Calculer la première dérivée partielle de la fonction f (X, Y) par rapport à Y:
d (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) / dy = 0 + 2 * 4Y ^ (2 - 1) = 8Y ^ 1 = 8Y
A noter que, maintenant, le terme "7X ^ 4" est considéré comme une constante, et sa dérivée est nulle.
4 Obtenir la première dérivée partielle de la fonction f (X, Y) en tant que somme des dérivées partielles des étapes 2 et 3:
f '(X, Y) = df (x, y) / dx + df (X, Y) / dy
Dans notre exemple, f '(X, Y) = 28X ^ 3 + 8A.
5 Calculer la seconde dérivée partielle de la fonction f (X, Y) par rapport à X en tant que dérivée partielle de la fonction à partir de l'étape 4. similaire à l'étape 2, il faut obtenir:
d (28X ^ 3 + 8Y) / dX = 3 * 28X ^ (3 - 1) + 0 = 84X ^ 2
6 Calculer la dérivée seconde partielle de la fonction f (X, Y) par rapport à Y comme dérivée partielle de la fonction de l'étape 4. similaire à l'étape 3, vous pouvez obtenir:
d (28X ^ 3 + 8Y) / dy = 0 + 1 * 8Y ^ (1 - 1) = 8Y ^ 0 = 8
7 Calculer le Laplacien de la fonction f (X, Y) en tant que somme des deuxièmes dérivées partielles des étapes 5 et 6:
Laplacien (7X ^ 4 + 4Y ^ 2) = 84X ^ 2 + 8