La mécanique quantique décrit le comportement de la matière au niveau atomique et subatomique. Malheureusement, bon nombre de ses concepts de base sont contre-intuitif, car ils semblent opposer à notre expérience quotidienne de la réalité. De nombreuses classes d'intro aider les élèves à comprendre certains des principes en cause en utilisant le modèle le plus simple possible: une particule dans une boîte. En utilisant ce modèle, vous pouvez calculer les énergies autorisées de la particule dans la boîte et avoir un aperçu de la façon dont les énergies autorisées sont calculées pour un système plus complexe - l'atome d'hydrogène.
Instructions
1 Supposons que vous ayez une particule de masse, "m," dans une boîte. Les parois de la boîte sont séparées par une distance "L" Les murs sont infiniment élevés. Ce système peut être décrit en utilisant une fonction d'onde, "Ψ (x)," comme une solution possible à l'équation de Schrödinger. L'équation indépendante du temps Schrôdinger est la suivante: (-h ^ 2 / 8π 2 ^ m) * (d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) + V (x) Ψ (x) = E Ψ (x). "E" est l'énergie totale, "V (x)" est l'énergie potentielle, "Ψ (x)" (ci-après simplement "Ψ") est la fonction d'onde, et "h" est la constante de Planck - une constante vous allez rencontrer souvent en mécanique quantique.
2 Notez que l'extérieur de la boîte, la particule aura infinie énergie potentielle. L'équation de Schrodinger devient alors: (-h ^ 2 / 8π ^ 2 m)
(d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) + Ψ (x) l' infini = E Ψ (x).
La seule façon cette relation peut maintenant être vrai est si Ψ (x) = 0, car alors les deux côtés seront égaux. Par conséquent, la fonction d'onde est de 0 partout à l'extérieur de la boîte. Comme la probabilité de trouver la particule dans un endroit donné est juste la place de la fonction d'onde, il est une probabilité nulle de la particule peut être en dehors de la boîte.
3 Considérez la région à l'intérieur de la boîte, où l'énergie potentielle est 0. Maintenant V (x) = 0, donc l'équation de Schrödinger simplifie à: (-h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * (d ^ 2 Ψ (x) / dx ^ 2) = E Ψ (x).
Ceci est une équation différentielle du second ordre, et les solutions à cette équation ont la forme générale suivante: Ψ (x) = A sin kx + B cos kx. "A", "B" et "k" sont des constantes.
4 Substituer la forme générale de la solution dans l'équation de Schrödinger. Cela vous donne: (-h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * (dérivée seconde de A sin kx + B cos kx) = E (A sin kx + B cos kx).
5 Prendre la dérivée seconde de A sin kx + B cos kx. Vous souvenez peut-être des cours de calcul, le dérivé du péché kx est k cos kx, tandis que le dérivé du cos kx est -k sin kx. Ainsi, la dérivée première sera: Ak cos kx - Bk sin kx.
En prenant la dérivée donne à nouveau: -ak ^ 2 sin kx - k ^ 2 B cos kx.
Notez que vous pouvez facteur -k ^ 2 de cette équation. Une fois que vous le faites, vous avez: -k ^ 2 (A sin kx + B cos kx).
6 Remarquez quelque chose d'intéressant au sujet de la dérivée seconde, vous venez de calculer. L'équation, entre parenthèses est le même que votre wavefunction originale. Vous pouvez donc réécrire comme: -k ^ 2 (Ψ (x)).
Lorsque vous substituez ce retour dans l'équation de Schrödinger, vous obtenez: E Ψ (x) = (- (-k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * Ψ (x).
Vous pouvez diviser les deux côtés par Ψ (x), l'annulation pour obtenir: E = - (-k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.
Les négatifs annulent: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.
Vous obtenez de plus près, mais vous avez encore besoin de trouver k.
7 Notez que vous ne l'avez pas encore appliqué les conditions aux limites pour votre wavefunction. Étant donné que la probabilité de trouver la particule en dehors de la boîte est égale à zéro, la probabilité de trouver la particule sur les parois de la boîte doit également être égal à zéro. Vous pouvez fixer arbitrairement un côté de la boîte pour commencer à x = 0 et l'autre à x = L; dans ce cas, Ψ (0) = 0 et Ψ (L) = 0. Regardons le premier cas. Si Ψ (0) = 0, alors cela est vrai: 0 = a sin kx + B cos kx.
Le péché de zéro est habituellement zéro, de sorte que le premier terme tend vers zéro. Mais qu'en est-il du second? B cos k (0) ne peut être zéro si B est égal à zéro. Dans ce cas, la fonction d'onde devient maintenant: Ψ (x) = A sin kx.
8 Considérez Ψ (L) = 0. Si cela est vrai, alors A sin kL = 0. La constante A ne peut pas être zéro, parce que si elle était le cas, la fonction d'onde serait nulle partout et la particule ne serait pas nulle part, ce qui est pas possible. Par conséquent, le péché kL doit être égale à zéro. Rappelez-vous de la trigonométrie lycée que le péché π = 0, sin 2π = 0, sin 3π = 0 et ainsi de suite. Le péché de tout multiple entier de π = 0. Par conséquent kL doit être égale à un nombre entier fois π. Vous pouvez l'utiliser pour écrire l'équation kL = nn, où "n" est un nombre entier supérieur à zéro. Résolution pour k, vous trouverez: k = nn / L. Ainsi, la fonction d'onde est Ψ (x) = A sin nn / L, où A est une constante et n est un entier supérieur à zéro.
9 Rappel (Ψ (x)) ^ 2 est la probabilité de trouver la particule dans un endroit particulier. Si cela est vrai, alors l'intégrale de Ψ (x) sur 0 à L doit être égal à 1. Pourquoi? Eh bien, l'intégrale vous donne la zone située sous une courbe, et la zone ci-dessous (Ψ (x)) ^ 2 vous donne la probabilité de trouver la particule dans cette région. Puisque la particule ne peut pas être en dehors de la boîte, si vous additionnez la probabilité de trouver la particule à une valeur donnée de x à l'intérieur de la boîte, la somme de toutes ces probabilités doit être 1. La particule doit être quelque part à l'intérieur de la boîte, après tout.
dix Prenez l'intégrale de Ψ (x) ^ 2 sur 0 à L et le mettre égal à 1: (A sin nπx / L) ^ 2 dx = 1.
Remarquez une fois que vous conciliez cela, vous pouvez vous déplacer A ^ 2 en dehors du signe intégral, car il est une constante, vous donnant: A ^ 2 ∫ (sin nπx / L) ^ 2 dx = 1.
11 Notez l'intégrale de sin ^ 2 bx, avec b comme une constante, est x / 2 - 1 / 4b sin 2bx. Dans ce cas, alors, l'expression de la dernière étape simplifie à: A ^ 2 (x / 2 - L / 4nπ sin 2nπx / L) sur 0 à L = 1.
Lorsque x = 0, l'expression entière est égal à zéro, donc nous avons juste besoin d'évaluer ce qui se passe quand x = L et spécifiez que égale à 1. Cela nous donne: A ^ 2 (L / 2 - L / 4nπ sin 2πn L / L ) = 1.
Les Ls l'intérieur de la fonction sin annuler. Rappel sin 2π = 0, donc le péché tout entier n fois 2π est toujours zéro. Par conséquent, toute cette expression simplifie à: A ^ 2 (L / 2) = 1.
Que faut-A-être pour cette expression pour maintenir vrai? Pour le savoir, vous pouvez diviser les deux côtés par L / 2, puis prendre la racine carrée, vous donnant: A = (2 / L) ^ 1/2.
12 Remplacez la réponse que vous venez de trouver de nouveau dans le wavefunction pour montrer ce qui suit: Ψ (x) = (2 / L) ^ 2 (sin nπx / L).
Tous les wavefunctions acceptables doivent avoir cette forme, où n est un entier positif. Si vous vous souvenez, nous avons aussi trouvé plus tôt: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m, où k est la constante par lequel x est multiplié dans le wavefunction. Si vous regardez votre wavefunction, vous remarquerez que x est multiplié par nn / L, donc k = nn / L.
13 Remplacez votre valeur pour k dans l'expression que vous avez dérivée pour l'énergie: E = (nn / L) ^ 2 h ^ 2 / 8π ^ 2m. Vous pouvez simplifier ceci: E = n ^ 2 π ^ 2 h ^ 8/2 π ^ 2 m L ^ 2.
Le π ^ 2 au numérateur et le dénominateur d'annuler, de sorte que vous avez maintenant: E = (n ^ 2 h ^ 2) / (8 m L ^ 2), où vous savez maintenant l'énergie pour tout entier positif n dans une boîte avec une longueur L.
Conseils et avertissements
- Notez quelque chose d'intéressant au sujet de vos résultats: ils sont tous les multiples entiers, où n doit être un entier. En d'autres termes, la particule dans la boîte ne peut pas avoir toute l'énergie que vous décidez de lui donner. La quantité d'énergie qu'il a est quantifiée et il ne peut avoir certaines valeurs d'énergie discrets. La même chose est vraie pour les électrons dans un atome. Rappelez-vous l'énergie d'un photon de lumière est calculée à partir de la formule E = hv, où v est la fréquence, et vous allez commencer à voir pourquoi les éléments ont une absorption distinctes et des spectres d'émission - en d'autres termes, ils n'émettent et absorbent certaine caractéristique longueurs d'onde de la lumière.