Depuis plus de 2000 ans, l'expression «géométrie euclidienne» était superflue parce qu'il n'y avait pas d'autre géométrie. Ce fut seulement au 19ème siècle que les mathématiciens enfin aventurés à explorer différentes idées géométriques. la géométrie euclidienne est basée sur cinq postulats, ou axiomes, et construit l'ensemble du système géométrique sur le cadre de ces cinq postulats. géométries non-euclidiennes acceptent les quatre premiers de ces, mais changer le cinquième postulat pour construire des géométries entièrement cohérentes (bien que non-intuitive).
Les quatre premiers Postulats
Euclid utilisé seuls les quatre premiers postulats pour les 28 premières propositions de ses éléments. Cependant, il avait besoin d'un cinquième postulat d'aller plus loin que cela, il a créé un postulat supplémentaire qui ne pouvait être tirée des quatre autres postulats. Pendant des siècles, les mathématiciens ultérieurs ont essayé mais ont échoué à prouver le cinquième postulat sur la base des quatre premiers.
Les quatre premiers postulats sont que deux points quelconques peuvent être reliés par une ligne droite, un segment de ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans une ligne droite, un cercle peut être tracé ayant un point de terminaison que le centre et le segment de rayon (donné une ligne droite segment) et tous les angles droits sont congruents.
Le cinquième Postulat
Les quatre premiers postulats sont simples et semblent tellement intuitive qu'elle est virtuellement soi. Le cinquième postulat se distingue en revanche. Sa formulation originale était que si une ligne droite coupe deux lignes droites pour faire les angles intérieurs d'un côté ajoutent à moins de deux angles droits, les deux lignes droites, si étendu, se croisent les uns les autres de ce côté. la géométrie euclidienne moderne utilise un postulat simple, mais tout à fait équivalente: «Grâce à un point donné non pas sur une ligne donnée, il existe exactement une ligne parallèle à la ligne donnée." la géométrie sphérique remplace le cinquième postulat avec "à travers un point donné non pas sur une ligne donnée, il existe pas de lignes parallèles à la ligne donnée."
Triangles
Lorsque les mathématiciens ont commencé à explorer les ramifications de remplacement du cinquième postulat d'origine avec la version modifiée pour la géométrie sphérique, ils ne trouvaient pas les incohérences internes. Plus précisément, certains mathématiciens ont trouvé des incohérences, mais il est avéré que leur raisonnement était vicié. La nouvelle géométrie était cohérente, mais en conflit avec leurs idées intuitives sur l'espace. Une des choses bizarres à propos de la nouvelle géométrie triangles concernés. Dans les deux euclidiennes et sphériques, la somme des angles intérieurs d'un triangle ne peut pas être inférieur à 180 degrés. En géométrie euclidienne, la somme est toujours de 180 degrés exactement. Dans une géométrie sphérique, la somme est toujours supérieur à 180 degrés.
Applications
Les deux euclidienne et géométries non-euclidiennes sont très utiles. Les développeurs de la géométrie sphérique exploraient des idées en mathématiques pures, mais une application évidente était littéralement sous leur nez, à savoir, la planète terre est essentiellement sphérique, et la géométrie euclidienne, tout en étant utile à petite échelle sur le globe, tombe en morceaux sur une grande échelle. Pour démontrer cela, marchez vers le nord d'un point sur l'équateur jusqu'à ce que vous frappez le pôle Nord. Tournez à 90 degrés vers la droite et continuer à marcher jusqu'à ce que vous frappez à nouveau l'équateur. Tournez à 90 degrés et marcher vers la droite jusqu'à ce que vous atteignez votre point de départ. Vous venez de tracer un triangle avec trois angles droits. Vous ne pouvez pas le faire dans l'espace euclidien.