Il y a beaucoup de problèmes qui impliquent de trouver la racine carrée d'un nombre. Comment trouvez-vous la racine carrée si vous ne disposez pas d'une calculatrice avec une fonction de la racine carrée? Il y a quelques méthodes simples que vous pouvez utiliser pour trouver rapidement la racine carrée. Ces méthodes ont été utilisées depuis des milliers d'années avant que la calculatrice a été inventé. Les solutions de travail pour des nombres rationnels, soit des nombres qui sont des nombres entiers, ou peut être représenté par un quotient de deux nombres entiers.
Instructions
1 La racine carrée peut être trouvée si vous avez accès à un ensemble de tables logarithmiques. Le logarithme naturel d'un nombre x est généralement notée ln (x). La base du logarithme naturel est le nombre 2,271828 ... qui est désigné comme la lettre e.
La racine carrée d'un nombre x est la base du logarithme naturel, e, élevé à la puissance du logarithme naturel de x, divisé par deux. Ceci peut être exprimé comme suit:
racine carrée de x = e ^ (ln (x) / 2).
Cela semble compliqué, mais les tables logarithmiques ont généralement les valeurs de ln (x) et e ^ x pour une large gamme de numéros. Donc, vous avez juste besoin de rechercher la valeur de ln (x) dans le tableau, puis diviser la valeur que vous avez trouvé dans le tableau par 2. Appelons la valeur ln (x) / 2 = a. Suivant rechercher la valeur de e ^ a. Ceci est votre réponse.
2 La racine carrée d'un nombre peut également être trouvée par approximations successives. Si vous utilisez une formule simple, vous pouvez rapidement améliorer vos résultats.
Si vous avez besoin de trouver x, qui est la racine carrée de y, puis choisissez une valeur de x qui est approximativement la racine carrée de y. Pour commencer, vous pouvez choisir une valeur qui est basée sur une racine connue proche de la valeur de y. La formule d'approximation que nous utilisons est x '= (x + y / x) / 2, où y est le nombre que nous devons trouver la racine, et x est le nombre que nous sommes deviner la racine de l'être.
Compute x '= (x + y / x) / 2. Utilisez cette valeur de x' pour calculer y et voir à quel point la solution est. Sinon suffisamment proche, puis utiliser cette valeur de x 'dans la même formule pour calculer un nouveau x' et essayer à nouveau. Par exemple, pour la racine carrée de 8, devinez une solution de x = 2,6:
x '= (x + y / x) / 2 = (2,6 + 8 / 2,6) / 2 = 2,8384615
Donc x '= 2.8384615 devient notre première approximation de la racine carrée de 8. Parce que x' est pas très proche de notre première estimation de x = 2.6, nous avons besoin de répéter le processus dans notre formule pour obtenir un résultat plus proche de la place réelle racine de 8.
Maintenant calculer x '= 2,8384615 et y / x' = 8 / 2,8384615 = 2,81842818.
Comparer les valeurs de x 'et y / x. Vous pouvez voir qu'ils sont proches, mais précis à une seule décimale. Essayer une nouvelle itération, en utilisant les valeurs calculées seulement dans l'équation x '= (x + y / x') / 2.
x '= (2.8384615 + 2.81842818) / 2 = 2,8284448
La réponse réelle est 2,8284271 ... donc déjà nous sommes exacts à 4 décimales. Le procédé peut être poursuivi pendant plus de précision, si nécessaire. Les valeurs de x 'et y / x' finiront par converger, qui est, par la suite x 'sera égal à y / x. À ce moment, il ne peut y avoir aucune augmentation de la précision.
3 Le nombre que nous cherchons la racine (radicande), peut être un carré parfait. Les nombres qui sont des carrés parfaits ont des racines entières. Par exemple, 9 est un carré parfait avec une racine de 3.
Si le radicande se termine par un 2, 3, 7, ou 8, alors nous savons que le nombre est pas un carré parfait. Tous les numéros qui ne sont pas des carrés parfaits ont des racines irrationnelles. Autrement dit, la racine de ces chiffres sera une décimale qui ne peut être approchée. Pi est célèbre un nombre irrationnel, comme la racine carrée de 2.
Vous pouvez deviner le nombre pour commencer l'approximation d'une racine, si vous connaissez le carré parfait qui est plus petit que le radicande (y dans la formule). Plus la supposition initiale, moins de fois que vous devez calculer la formule d'approximation.
Par exemple, disons que nous devons trouver la racine carrée de 21. Nous savons que 16 est un carré parfait avec une racine de 4. Nous savons aussi que le prochain carré parfait est de 25, avec une racine de 5. Parce que 16 est inférieure à 21, utiliser la racine de 16, x = 4, pour commencer le calcul.
x '= (x + y / x) / 2
x '= (4 + 21/4) / 2 = 4,625
x '= (4,625 + 21 / 4,625) / 2 = 4,58277
x '= (4,58277 + 21 / 4,58277) / 2 = 4,582575, qui est la réponse à 6 décimales.
Conseils et avertissements
- Les méthodes décrites à trouver la racine carrée principale, qui est la racine carrée positive, d'un nombre rationnel supérieur à zéro.
- Un nombre entier est un nombre qui ne dispose pas d'un nombre décimal, tel que 2 ou 2315.
- Un quotient est une fraction telle que 4/3 ou 576/1024.