Différenciation est un outil mathématique qui permet d'évaluer la façon dont une fonction change par rapport à une variable indépendante. Essentiellement, la dérivée d'une fonction en un point spécifique est la pente instantanée de la fonction à ce moment. Une fonction qui est à un maximum possède une pente positive avant le maximum et une pente négative après le maximum. Cela signifie que, dans presque tous les cas, la dérivée de la fonction est égale à zéro au maximum. Nous pouvons utiliser ce fait pour identifier les minima et maxima locaux de tout, fonction différentiable continue.
Instructions
Finding minimum et maximum de produits dérivés
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Trouver la dérivée de votre fonction.
Quelques exemples:
Si votre fonction, f (x) = 3x, puis votre dérivée, f '(x) = 3.
Si g (y) = 4 (y-2) ^ 2 + 6, puis le dérivé g '(y) = 8 * (y-2).
Si h (z) = sin (z), puis h '(z) = cos (z).
2 Trouver la dérivée de la dérivée de votre fonction, autrement connu comme la dérivée seconde.
A partir des exemples:
Pour f (x) = 3x, et f '(x) = 3, f' (x) = 0.
G (y) = 4 (y-2) ^ 2 + 6, et g '(y) = 8 * (y-2), g' (y) = 8.
Pour h (z) = sin (z), et h '(z) = cos (z), puis h' '(z) = - sin (z).
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Définir la deuxième dérivée égale à zéro. La dérivée seconde de votre fonction sera égale à zéro uniquement lorsque la première dérivée a une valeur minimum ou maximum.
Chacun des trois exemples ci-dessus démontrent un comportement différent. Pour f (x) = 3x, f '(x) = 0. Pour quelles valeurs de x est f '' = 0? Tous. Par conséquent, votre dérivé a un minimum ou maximum à chaque point, ce qui n'a pas de sens jusqu'à ce que vous vous souvenez que le dérivé, f '(x) est égal à 3 partout. Donc, il n'a pas de minima ou maxima, ou il a le même maximum et minimum partout, ce qui est 3.
For g(y)=4(y-2)^2 + 6, g''(y)=8. For what values of y is g''=0? None of them; it's always equal to 8, so the derivative of your function has no minima or maxima. Again, it seems strange until you look at the graph and see that your initial quadratic function g(y) has a first derivative that's just a straight line---no dips or bumps to make extrema.
Pour h (z) = sin (z), h '' (z) = - sin (z). Pour quelles valeurs de z est -sin (z) = 0? A z = 0, +/- pi, +/- 2 * pi, etc. Maintenant regarder en arrière à la dérivée première et de brancher les valeurs de z que nous croyons maintenant correspondre aux minima et maxima. h '(z) = cos (z). Cos (0) = 1, que nous connaissons est un maximum pour la fonction cosinus. Cos (pi) = - 1, que nous connaissons est un minimum pour cosinus, etc. 4 Maintenant restreindre la gamme pour votre variable indépendante pour trouver le maximum et minimum dérivés relatifs. Dans ce contexte, maximum relatif signifie simplement le maximum sur une plage donnée de variables indépendantes. Dans notre troisième exemple ci - dessus, nous pourrions demander le maximum relatif entre z = 3
pi et 5 pi, et nous aimerions trouver extrema à 3 pi, 4 pi, et 5 * pi. Pour cet exemple, la fonction cosinus est bien connue au point où nous savons qu'il est minimum à 3 pi et 5 pi, et au maximum à 4 pi.
Cette étape nous a donné la extrema, mais il ne nous dit pas avec certitude qui sont les maxima et minima qui sont. Une dernière étape sera dissiper la confusion restante.
5 Prenez le dérivé de votre fonction une fois de plus. S'il est positif à l'extremum, alors il est au minimum si elle est négative, vous êtes à un maximum.
Dans notre exemple, encore une fois: la dérivée seconde est h '' (z) = - sin (z), le dérivé de qui est h '' '(z) = - cos (z). (3 pi) de Dans la gamme z = 3 pi à 5 pi, la dérivée seconde est égale à zéro à 3 pi, 4 pi, et 5 pi, donc ceux qui sont les valeurs qui nous intéressent. = 1, qui est positive, de sorte que les extrema nous avons trouvé est un minimum. -cos (4 pi) = - 1, de sorte que les extrema est un maximum. Et cos (5 pi) = 1, de sorte que les extrema il y a un autre minimum. Tout ce qui est cohérent avec ce que nous savons de la fonction cosinus.
Conseils et avertissements
- Comme avec tous les problèmes de mathématiques, la beauté et les pièges sont dans les détails: écrire vos étapes sortir et faire preuve de prudence.